Gleichungen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,leute
ich habe die Rechneung mit dem modulus igendwie noch immer nicht verstanden.
Könnte einer von euch mir ausführlich erklären wie das geht?
z.B an dieser Gleichung:
[mm] 7x-5\equiv6 [/mm] mod 13
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 10.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm]7x-5\equiv6[/mm] mod 13
Die Gleichung bedeutet, dass wir eine Zahl x suchen, so dass 7x-5 bei Division durch 13 den Rest 6 lässt.
Modulo-Rechnung bedeutet, dass wir uns immer nur für den Rest interessieren, der bei Division durch den Modulus übrig bleibt.
In "normalen" Zahlen sähe die Rechnung doch folgendermaßen aus :
7x - 5 = 6 I +5
7x = 11 I *(1/7)
x = 11/7
Die Rechnung geht hier genauso, dass Problem ist, 1/7 zu finden.
1/7 ist doch diejenige Zahl mit der Eigenschaft, dass 1/7 * 7 = 1 ist.
In der Modulo-Rechnung müssen wir also eine Zahl finden, die mit 7 multipliziert bei Division durch 13 den Rest 1 lässt.
Das geht so :
7 und 13 haben den ggT 1, und der lässt dich mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus als Summe von 7en und 13en darstellen :
13 = 1*7 + 6
7 = 1*6 + 1
also ist 1 = 7 - 1*6 = 7 - 1* (13-1*7) = -1*13 + 2*7
(Noch ein Beispiel :
gesucht ist ggT(474 , 87) und eine Darstellung
474 = 5*87 + 39
87 = 2*39 + 9
39 = 4*9 + 3
9 = 3*3 + 0
Der letzte Rest, der nicht Null ist, ist der ggT, hier 3.
Von unten nach oben :
3 = 39 - 4*9 = 39 - 4*(87 - 2*39) = (474-5*87) - 4*(87 - 2*(474-5*87))
= 474 - 5*87 - 4*87 + 8*474 - 40*87 = 9*474 - 49*87)
Zurück zu unserer Aufgabe :
Weil 1 = -1*13 + 2*7 ist, ist 1/7 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 13.
Die Rechnung modulo 13 geht also so :
7x - 5 [mm] \equiv [/mm] 6 I +5
7x [mm] \equiv [/mm] 11 I *2
x [mm] \equiv [/mm] 22
[mm] \equiv [/mm] 9
Probe :
7*9 - 5 = 63 - 5 = 58 und 58 : 13 = 4 Rest 6.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Boaa!Genial,
Hab eigentlich alles verstanden bis auf,
> 7x - 5 [mm]\equiv[/mm] 6 I +5
> 7x [mm]\equiv[/mm] 11 I *2
> x [mm]\equiv[/mm] 22
> [mm]\equiv[/mm] 9
auf die 2 kommst du wahrscheinlich weil = -1*13 + 2*7
Wie kommst du jedoch dann auf 9?
Wie sieht es z.B bei diesen Aufgaben aus:
[mm] (2k)^{2} [/mm] mod 4 & [mm] (2k+1)^{2} [/mm] mod 4?
Anika
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 10.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die 9 ergibt sich, weil 22 : 13 = 1 Rest 9 ist.
Hab' für den Rest jetzt leider keine Zeit mehr, vielleicht jemand anderes.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
