Gleichungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Di 15.07.2008 | | Autor: | Argoth |
| Aufgabe 1 | | Lösen Sie Gleichung [mm] \bruch{x²+25}{x+1} [/mm] = 2 in [mm] \IZ_{13} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Lösen Sie Gleichung x²+10x+3= 0 in [mm] \IZ_{11} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich kann mit den sehr spärlichen Aufgabentexten leider gar nichts anfangen. Ich hoffe es handelt sich überhaupt um Zahlentheorie.
Könnte mir einer verraten wie man sowas löst?
Gruß
Argo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 15.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch die sog. pq-Formel ist nur das Ergebnis von quadratischer Ergänzung.
Also einfach quadratische ergänzung nur jeweils in [mm] Z_{13} [/mm] bzw. [mm] Z_{11}
[/mm]
also etwa bei 2. [mm] 5^5=25=3mod11 [/mm] !
was ist 25 mod1 3? das benutzt du bei 1.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 15.07.2008 | | Autor: | Argoth |
| Aufgabe | | x²-2x-4 = 0 in [mm] \IZ_{13} [/mm] lösen. |
Ich steh irgendwie auf dem Schlauch, ich hab hier 4 Aufgaben mit Lösungsweg und schaffs noch nicht die nachzuvollziehen.
Wäre es möglich mir das ganze noch etwas runter zu brechen. Schritt für Schritt Anleitung für die Langsamen sozusagend.
Aufg. 1 scheint vom Lösungsweg her recht einfach zu sein, deswegen pack ich hier nochmal eine andere dazu die im Lösungsweg aufwendiger aussieht und hoffentlich verständinisförderndter ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Das ist ein (hoffentlich richtige) Musterlösung als Erklärbeispiel)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Aufg. 1 scheint vom Lösungsweg her recht einfach zu sein,
> deswegen pack ich hier nochmal eine andere dazu die im
> Lösungsweg aufwendiger aussieht und hoffentlich
> verständinisförderndter ist.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> (Das ist ein (hoffentlich richtige) Musterlösung als ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Erklärbeispiel)
Leider ist sie nicht richtig.
Wegen p=-2 ist [mm] -\bruch{p}{2}=1 [/mm] und man hätte [mm] x=1±\wurzel{5}
[/mm]
Um die Wurzel zu bestimmen, braucht man eine Tabelle für
die Quadrate mod 13:
x: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[mm] x^2: [/mm] 0 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
Da die 5 unter den Quadratzahlen nicht vorkommt, existiert
[mm] \wurzel{5} [/mm] in [mm] \IZ_{13} [/mm] nicht, und die Gleichung hat keine Lösung.
LG
Die Aufgabe 1 führt auf eine ganz ähnliche Gleichung, welche
zwei Lösungen hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Do 17.07.2008 | | Autor: | Argoth |
Danke für die Erklärung. Hat schon einiges geholfen.
Aber zur 1, ich komm da auf 4 Lösungen kann das sein?
x = 3, x = -1, x = -10 und x = 12
Zwischenschritt habe ich
[mm] x_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{-22}
[/mm]
-22 mod 13 = 4
Dann kann ich ja in deiner Tabelle nachschauen und da taucht zweimal die 4 auf, beim Quadrat von 2 und 11.
Was davon ist jetzt dann die richtige Lösung?
|
|
|
| |
|
> Aber zur 1, ich komm da auf 4 Lösungen kann das sein?
>
> x = 3, x = -1, x = -10 und x = 12
> Was davon ist jetzt dann die richtige Lösung?
Dies sind nur zwei Lösungen, denn modulo 13 ist -10=3 und -1=12 !
(du hast mit deinem handgeschriebenen Zettel noch wesentlich exotischere
Gleichungen mod 13 angeregt, z.B. [mm] 2\bruch{1}{2}=9)
[/mm]
LG
Vorsicht: In der üblichen Bedeutung von mod wäre natürlich
die Gleichung [mm] \blue{2\bruch{1}{2}=9} [/mm] mod 13 absolut unsinnig !
Gemeint ist hier der Umgang mit Brüchen im Körper [mm] \blue{\IF_{13}}.
[/mm]
Hier machen solche Umformungen durchaus Sinn, denn die
üblichen "gebrochenen Zahlen" werden überflüssig, weil jeder
Quotient [mm] \blue{\bruch{z}{n}} [/mm] mit z,n [mm] \blue{\in}\ \blue{\IF_{13}} [/mm] und n [mm] \blue{\ne} [/mm] 0 als Ergebnis
eine der 13 ganzen Zahlen des Körpers ergibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 17.07.2008 | | Autor: | Argoth |
Ahh immer diese kleinen Kniffe, ich schau das Zeug wohl schon zu lange an.
Danke für die Erklärungen.
Gruß
Argo
|
|
|
|
