Gleichung zeigen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien Mengen A, B, E, F, M und N mit A, B [mm] \subset [/mm] M und E, F [mm] \subset [/mm] N sowie eine Abbildung f: M [mm] \to [/mm] N. Zeigen oder widerlegen Sie:
[mm] f^{-1} [/mm] (E [mm] \cup [/mm] F) = [mm] f^{-1} [/mm] (E) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F) |
Meine Frage ist ob ich, wenn ich bereits folgendes gezeigt habe:
f(A [mm] \cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)
einfach so argumentieren kann, dass [mm] f^{-1} [/mm] sich als Funktion
g: N [mm] \to [/mm] M
verstehen lässt, für die exakt die gleichen Bedingungen gelten wie im bereits
gezeigten Fall.
Oder hab ich hier einen Denkfehler drin ?
Gilt die Gleichung für die Umkehrfunktion womöglich gar nicht ? Und wenn ja, warum ?
Vielen Dank im Voraus !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 So 01.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Meine Frage ist ob ich, wenn ich bereits folgendes gezeigt
> habe:
>
> f(A [mm]\cup[/mm] B) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
>
>
> einfach so argumentieren kann, dass [mm]f^{-1}[/mm] sich als
> Funktion
>
> g: N [mm]\to[/mm] M
>
> verstehen lässt, für die exakt die gleichen Bedingungen
> gelten wie im bereits
> gezeigten Fall.
> Oder hab ich hier einen Denkfehler drin ?
Ja, hast Du. Beachte, dass es einen großen Unterschied macht, ob man $f(x)$ mit [mm] $x\in [/mm] M$ schreibt oder $f(A)$ mit [mm] $A\subseteq [/mm] M$. Ersteres Beschreibt die Zuordnung von Elementen von M und N, letzteres beschreibt, wie sich f auf den Teilmengen verhält. Für die Zuordnung von Elementen gelten viel strengere REgeln. So muss es für jedes $x [mm] \in [/mm] M$ genau ein $y [mm] \in [/mm] N$ mit $f(x) = y$ geben.
Daher kann man wenn man die Elemente betrachtet nicht einfach von [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] mit [mm] $y\in [/mm] N$ sprechen, denn das funktioniert nur, wenn f bijektiv ist: jedem $y [mm] \in [/mm] N$ müsste durch [mm] $f^{-1}$ [/mm] genau ein $x [mm] \in [/mm] M$ zugeordnet werden. Dagegen kann man [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] mit $B [mm] \subseteq [/mm] N$ immer hinschreiben, weil es einfach eine kurzschreibweise für "die Urbildmenge von B" ist.
> Gilt die Gleichung für die Umkehrfunktion womöglich gar
> nicht ? Und wenn ja, warum ?
Fassen wir zusammen: wenn f bijektiv ist ist Deine Argumentation richtig. Aber was, wenn f icht bijektiv ist?
Welche zwei Ursachen kann es dafür geben? Und was sind die Auswirkungen auf die zu beweisende Gleichung?
Viel Spaß beim Knobeln.
Gruß
piet
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Hallo,
vielen Dank erstmal, aber leider hat mir das jetzt glaube ich noch nicht ganz so geholfen.
Ich gehe nach deiner Erläuterung mal davon aus, dass die Gleichung eher nicht gilt.
Ich habe jetzt folgenden Beweis geführt (der dem anderen Beweis sehr sehr ähnlich ist..) und weiß nicht was daran falsch sein soll..
habe einfach mal die von dir genannte Definition von [mm] f^{-1} [/mm] im internet gesucht und verwendet (hatte vorher ne falsche idee davon)
also:
[mm] f^{-1} [/mm] ( E [mm] \cup [/mm] F ) = { x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] (E [mm] \cup [/mm] F) }
= {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] E [mm] \vee [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] F}
= {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] E} [mm] \cup [/mm] {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] F}
= [mm] f^{-1} [/mm] (E) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F)
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Hi Stealthed2,
deine Frage lässt sich nicht zitieren, weil die [mm] Tags total merkwürdig überall gesetzt wurden.
Zeige mittels logischer Implikation, dass die Mengen $\ [mm] f^{-1}(E \cup [/mm] F) $ und $\ [mm] f^{-1}(E) \cup f^{-1}(F) [/mm] $ gleich sind.
Zwei Mengen $\ A, B $ sind dann gleich, wenn gilt
$\ A [mm] \subseteq [/mm] B $
$\ B [mm] \subseteq [/mm] A $
Zeige also die eine und anschliessend die andere Richtung.
Wähle ein bel. Element $\ x $ aus der linken Menge und zeige mittels Implikation, dass dieses Element auch in der rechten Menge liegen muss.
So wie du es hingeschrieben hast, geht das in die richtige Richtung.
Gruß
ChopSuey
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hm ok, das hat mir schon mehr geholfen, vielen dank !
hier mein neuer beweis, wollte nur fragen ob der jetzt so ok ist...
also ich zeige die behauptung in 2 schritten.
1. f^{-1} ( E \cup F) \subseteq f^{-1} (E) \cup f^{-1} (F)
Sei x \in f^{-1} (E \cup F)
\Rightarrow f(x) \in (E \cup F)
\gdw f(x) \in E \vee f(x) }in F
\Rightarrow x \in f^{-1} (E) \vee x \in f^{-1} (F)
\gdw x \in (f^{-1} (E) \vee f^{-1} (F) )
2. f^{-1} (E) \cup f^{-1} (F) \subseteq f^{-1} ( E \cup F)
genauso nur umgekehrt
wenn das beides gilt gilt gleichheit
ist das so korrekt ?
Danke !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 03.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hm ok, das hat mir schon mehr geholfen, vielen dank !
hier mein neuer beweis, wollte nur fragen ob der jetzt so ok ist...
also ich zeige die behauptung in 2 schritten.
1. [mm] f^{-1} [/mm] ( E [mm] \cup [/mm] F) [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (E) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F)
Sei x [mm] \in f^{-1} [/mm] (E [mm] \cup [/mm] F)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] (E [mm] \cup [/mm] F)
[mm] \gdw [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] E [mm] \vee [/mm] f(x) in F
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (E) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (F)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in (f^{-1} [/mm] (E) [mm] \vee f^{-1} [/mm] (F) )
2. [mm] f^{-1} [/mm] (E) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F) [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] ( E [mm] \cup [/mm] F)
genauso nur umgekehrt
wenn das beides gilt gilt gleichheit
ist das so korrekt ?
Danke !
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Moin,
> hm ok, das hat mir schon mehr geholfen, vielen dank !
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> hier mein neuer beweis, wollte nur fragen ob der jetzt so
> ok ist...
>
>
> also ich zeige die behauptung in 2 schritten.
>
> 1. [mm]f^{-1}[/mm] ( E [mm]\cup[/mm] F) [mm]\subseteq f^{-1}[/mm] (E) [mm]\cup f^{-1}[/mm] (F)
>
> Sei x [mm]\in f^{-1}[/mm] (E [mm]\cup[/mm] F)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] (E [mm]\cup[/mm] F)
> [mm]\red{\gdw}[/mm] $\ [mm] \green{(} [/mm] $ f(x) [mm]\in[/mm] E $\ [mm] \green{)} [/mm] $[mm]\vee[/mm] $\ [mm] \green{(}$ [/mm] f(x) in F $\ [mm] \green{)}$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] $\ [mm] \green{(} [/mm] $ x [mm]\in f^{-1}[/mm] (E) $\ [mm] \green{)} [/mm] $[mm]\vee[/mm] $\ [mm] \green{(} [/mm] $ x [mm]\in f^{-1}[/mm] (F)$\ [mm] \green{)} [/mm] $
> [mm]\red{\gdw}[/mm] x [mm]\in (f^{-1}[/mm] (E) [mm]\vee f^{-1}[/mm] (F) )
Das sieht schon ganz gut aus. Du musst nur mit den Implikationen aufpassen, da gehören keine Äquivalenzpfeile rein. Entweder du zeigst erst die eine und dann die andere Richtung, oder du argumentierst gleich mit Äquivalenzpfeilen, dann aber auch konsequent. Ich hab dir in grüner Farbe ein paar Klammern ergänzt.
Die letzte Zeile solltest du allerdings durch
$\ x [mm] \in f^{-1}( [/mm] E ) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F) $ ersetzen.
Das stimmt zwar, was du geschrieben hast. Allerdings unterscheidet sich die letzte Zeile nur durch die Klammern von der vorletzten und das eigentliche Ziel, nämlich $\ x [mm] \in f^{-1}( [/mm] E ) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (F) $ fehlt.
Persönlich finde ich es am schönsten in dieser Form:
Sei $\ x [mm] \in f^{-1}(E\cup [/mm] F) [mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M ) ( f(x) [mm] \in E\cup [/mm] F) [mm] \wedge [/mm] y:= f(x) $
$\ ( f(x) [mm] \in E\cup [/mm] F) [mm] \Rightarrow [/mm] (f(x) [mm] \in [/mm] E [mm] \vee [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] F ) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in f^{-1}(E) \vee f^{-1}(F)) \Rightarrow [/mm] ( x [mm] \in f^{-1}(E\cup [/mm] F) ) $
Das ganze dann eben noch von links nach rechts.
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> 2. [mm]f^{-1}[/mm] (E) [mm]\cup f^{-1}[/mm] (F) [mm]\subseteq f^{-1}[/mm] ( E [mm]\cup[/mm] F)
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> genauso nur umgekehrt
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> wenn das beides gilt gilt gleichheit
>
> ist das so korrekt ?
>
> Danke !
Viele Grüße
ChopSuey
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