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Forum "Schul-Analysis" - Gleichung nach r auflösen
Gleichung nach r auflösen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichung nach r auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Sa 24.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]

   =>  r = ...



Ich zerbreche mir schon seit Tagen den Kopf wie ich obige Formel nach r auflösen kann

(r = ...)

Kann mir jemand helfen? Herzlichen Dank dafür!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung nach r auflösen: nicht eindeutig lösbar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:01 So 25.12.2005
Autor: Loddar

Hallo m66-99,

[willkommenmr] und Frohes Fest!


Ich halte diese Gleichung nicht für geschlossen nach $r_$ auflösbar. Da musst Du wohl doch auf numerische (Näherungs-)Verfahren zurückgreifen.


Wofür bzw. in welchem Zusammenhang benötigst Du denn diese Formel / Umstellung?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 So 25.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
Die Größen V, b, c, h, l und s sind gegeben, so daß sich im Prinzip die Gleichung

V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]

auch so formulieren liesse:

V = ar² - br³

   =>  r = ...  

Recht schönen Dank für die Antwort; wünsche ebenfalls schöne Feiertage!

Es handelt sich hier um das Volumen des in dem Anhang skizzierten Körpers, welches ich hoffe richtig ausgerechnet zu haben.(?) Die Skizze habe ich zur Ergänzung noch hochgeladen. Der besseren Schreibweise wegen habe ich in der Formel "s1" durch "r" ersetzt.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Die eigentliche Aufgabe lautete:

"Wie lang ist die an der Schräge liegende Strecke s1 bei gegebenem Volumen?"

Die Größen b, c, h, l und s sind ebenfalls gegeben, so daß sich im Prinzip die Gleichung auch so formulieren liesse:

V = ar² - br³

wobei a und b Konstanten sind.

Bezugnehmend auf Deine Antwort wird das wohl eine Auflösung aber auch nicht ermöglichen???

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
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Gleichung nach r auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 So 25.12.2005
Autor: piet.t

Hallo,

also ob die Formel stimmt habe ich jetzt mal nicht nachgerechnet, aber im Gegensatz zu Loddar halte ich die Gleichung durchaus für auflösbar - ist doch eine einfache kubische Gleichung in r (oder habe ich noch was übersehen???), und für die gibt's mit den []Cardanischen Formeln auch eine allgemeine Lösungsmethode (auch wenn das Ergebnis möglicherweise nicht sehr ansprechend wird...)

Gruß

piet

Bezug
                                
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 So 25.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]

   =>  r = ...

Ach dü grüne Neune! Hilfe!!! Habe die Cardanischen Formeln wie angegeben auf Wikipedia nachgesehen, aber das geht über meine mathematischen Fähigkeiten.  <ärger>

Kann mir dabei jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!!!

Bezug
                                        
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Gleichung nach r auflösen: Links
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 So 25.12.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo,

ich poste dir hier mal 2 Links, wo Beispiele zum Rechnen mit den Formeln dargestellt sind. Das ist nicht schwer. Du musst deine Gleichung nur in die geforderte bringen und die Werte einsetzen. Dann kannst du 3 Nst. berechnen!

[]http://www.matheboard.de/archiv/thread,3189,nullstellen-berechnen-von-.htm

[]http://www.math.tu-berlin.de/HM/HMI/HMI_WS_1998_1999/UE-Stud/Begleitmat/Folien/folie_cardano_formeln.pdf

PS: Da du noch ein quardatisches Glied in deiner Gleichung hast, muss vorher noch eine Substitution gemacht werden. Dazu hier auch noch ein Beispiel:
[]http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/FormelCardano.php

Viele Grüße
Daniel

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Gleichung nach r auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 25.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
Folgende Volumengleichung eines geometrischen Körpers liegt vor:

V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]

r entspricht der Schräge s1 in der weiter oben eingefügten Skizze. Wie muss die Formel umgewandelt werden, damit die Schräge s1 (= r) sich in Abhängigkeit vom Volumen ausdrücken lässt. Alle anderen Größen b, c, h, l und s sind als feststehende Werte gegeben.

Hallo,

Recht schönen Dank für die Antwort!

Ich habe aber leider keine Ahnung wie man eine solche Polynomberechnung durchführt. Ich weiss auch gar nicht ob das überhaupt zum Ziel führt. Die Frage ist ja  gewesen

"Wie lang ist die an der Schräge liegende Strecke s1 bei gegebenem Volumen?"

Die Frage ist ja nicht wie die Kurve von V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm] aussieht oder wo die Nullpunkte der Kurve liegen, wann also das Volumen 0 ist.

Es soll die Gleichung nach "r = " (entspricht s1) aufgelöst werden, damit sich die Schräge in Abhängigkeit vom Volumen ausdrücken lässt.

Ich habe leider seit 25 Jahren keine Analysis Berechnungen mehr durchgeführt und mein Kenntnisstand reicht nicht so weit, diese komplizierten Formeln umzuwandeln, so daß sie passen. Ich glaube allerdings ich wäre damals an dieser Aufgabe auch verzweifelt.

Kann mir niemand die Formel nach r auflösen?

Danke!

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Gleichung nach r auflösen: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mo 26.12.2005
Autor: Arkus

Hallo!

Also ich weiß zwar nicht, ob meine Lösung die richtige bzw. geeigneteste ist, aber ich habe es mir folgendermaßen überlegt:

Die Formel lautet:

$V = [mm] \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} [/mm] - [mm] \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}$ [/mm]

Da r in beiden Summanden ein Faktor ist, ersetze ich die übrigen Variablen, wie du auch schon, zu:

$V = [mm] r^2 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot l}{s^2} \right [/mm] ) - [mm] r^3 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3} \right [/mm] )$ [mm] $\rightarrow$ [/mm] $V = [mm] r^2 \cdot [/mm] p - [mm] r^3 \cdot [/mm] q$

Ich klammere nun [mm] $r^2$ [/mm] aus:

$V = [mm] r^2 \cdot [/mm] (p-r [mm] \cdot [/mm] q)$

Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:

[mm] $r_{1/_{2}} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{V}$ [/mm]

Zweiter Faktor liefert die Lösung:

$V = p - [mm] r_3 \cdot [/mm] q$
[mm] $r_3 \cdot [/mm] q + V = p$
[mm] $r_3 [/mm] = [mm] \frac{p-V}{q}$ [/mm]

Nun müsste man halt nur noch wieder p und q resubstituieren und abwägen welche der 3 Lösungen richtig ist.

MfG Arktus


Bermerkung. Ich bin allerdings grad am Überlegen, ob meine Idee, in diesem Fall gültig ist, darum bin ich mir nicht ganz sicher. Ist halt bloß ne Idee ^^

Bezug
                                                                
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mo 26.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
[mm]V = r^2 \cdot (p-r \cdot q)[/mm]
Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:
[mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm]

Herzlichen Dank für die Antwort. Ich verstehe aber leider den unten mit blauer Bemerkung unterbrochenenen Schritt nicht. Könnte man mir den Schritt erklären? Siehe unten in blau. Danke!!

> Hallo!
>  
> Also ich weiß zwar nicht, ob meine Lösung die richtige bzw.
> geeigneteste ist, aber ich habe es mir folgendermaßen
> überlegt:
>  
> Die Formel lautet:
>  
> [mm]V = \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} - \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}[/mm]
>  
> Da r in beiden Summanden ein Faktor ist, ersetze ich die
> übrigen Variablen, wie du auch schon, zu:
>  
> [mm]V = r^2 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot l}{s^2} \right ) - r^3 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3} \right )[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] [mm]V = r^2 \cdot p - r^3 \cdot q[/mm]
>  
> Ich klammere nun [mm]r^2[/mm] aus:
>  
> [mm]V = r^2 \cdot (p-r \cdot q)[/mm]
>
> Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:

------------------------------------------------------------------------------
Hier komme ich leider nicht mehr mit; um auf die nächste Zeile zu kommen müsste doch da stehen r²=V, oder?? Wenn ich obige Gleichung auflöse gibt das folgendes: ??
[mm] r^{2}= \bruch{V}{(p-r*q)} [/mm]

------------------------------------------------------------------------------


> [mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm]
>  
> Zweiter Faktor liefert die Lösung:
>  
> [mm]V = p - r_3 \cdot q[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot q + V = p[/mm]
>  [mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]
>  
> Nun müsste man halt nur noch wieder p und q resubstituieren
> und abwägen welche der 3 Lösungen richtig ist.
>  
> MfG Arktus

Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mo 26.12.2005
Autor: Arkus

Ganz einfach:

Wenn du die Nullstellen einer Funktion berechnen willst, die aus einem Produkt aus 2 Faktoren besteht, dann kannst du jeden Faktor Null setzen und für sich betrachten.

Bsp.:

[mm] $f(x)=e^x \cdot x^2$ [/mm]

Die Funktion ist ein Produkt aus [mm] $e^x$ [/mm] und [mm] $x^2$. [/mm]

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzt du die gesamte Funktion 0:

[mm] $0=e^x \cdot x^2$ [/mm]

Nun betrachtest du jeden Faktor einzeln:

einmal [mm] $0=e^x$ [/mm] und [mm] $0=x^2$, [/mm] wenn du nun weiterrechnest, erhälst du:

[mm] $x_1=\ln{0}$ [/mm] was, aber nicht definiert ist und deshalb einen falsche Aussage und
[mm] $x_2_{/_3}= \pm \sqrt{0}$, [/mm] was wiederum eine Doppelnullstelle ist.

Wenn du diese Funktion zeichnen würdest oder mit PC zeichnen lässt, jenachdem, erhälst du einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei [0;0]

MfG Arktus

Bezug
                                                                                
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Gleichung nach r auflösen: es geht nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Mo 26.12.2005
Autor: m66-99

Aufgabe
[mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm] und
[mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]
als Lösung für [mm]V = \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} - \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}[/mm]
funktioniert leider nicht?

Danke für die Antwort.

Ich habe die Probe gemacht und beide Möglichkeiten ausprobiert, also


> [mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm] und
> [mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]


und aus bestimmten r - Werten die Volumina berechnet und dann mit oben genannten Lösungen gecheckt ob dasselbe r wieder rauskommt: Es haut leider absolut nicht hin.

Irgendwas kann nicht stimmen?

Bezug
                                                                                        
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Gleichung nach r auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Mo 26.12.2005
Autor: Arkus

Es wäre auch möglich, dass du einen Umstellungsfehler gemacht hast, aber ich dachte mir schon, das das in diesem Fall nicht hinhaut, war auch schon grad ziemlich am Überlegen ... Ich glaube, das ginge nur, wenn dort 0 steht und nicht irgendwas beliebiges, da, wenn ein Faktor 0 ist, auch das Produkt 0 wird.

Musste wohl doch über die Cardanischen Formeln gehen. ^^

Bezug
                                                                                        
Bezug
Gleichung nach r auflösen: siehe unten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:23 Di 27.12.2005
Autor: Loddar

Hallo m66-99!


Siehe unten bei moudi's ausführlicher Antwort !


Gruß
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Di 27.12.2005
Autor: moudi

Hallo m66-99

Meiner Meinung nach ist deine Volumenformel nicht ganz korrekt.
Dein Körper kann man als Differenz zweier Volumen [mm] $V_1$, $V_2$ [/mm] sehen,
wobei [mm] $V_1$ [/mm] ein Prisma mit dreieckigem Grundriss (Grundseite $2 [mm] b_1$, [/mm] Dreieckshöhe [mm] $h_1$) [/mm] und der Höhe (Länge) [mm] $l-c+c_1$ [/mm] ist. Der zweite Körper ist ein Tetraeder mit gleichem Grundriss, wie das Prisma und der Höhe [mm] $c_1$. [/mm]

Das Grundrissdreieck des Prismas ist ähnlich zum Dreieck mit Grundseite 2b und Dreieckshöhe h, wobei das Streckenverhältnis gegeben ist durch das Verhältnis [mm] $s_1:s=r:s$. [/mm] Deshalb sind die Volumen gegeben durch
[mm] $V_1=bh(\frac rs)^2(l-c+c_1)$ [/mm] und  [mm] $V_2=\frac [/mm] 13 [mm] bh(\frac rs)^2 c_1$. [/mm]
Ausserdem ist leicht einzusehen, dass [mm] $c_1:c=h_1:h=s_1:s$ [/mm] und daraus
[mm] $c_1=c\frac [/mm] rs$.
Setzt man das ein, so ergibt sich
[mm] $V=V_1-V_2=\frac{bh(l-c)r^2}{s^2}+\frac{2bhcr^3}{3s^3}$. [/mm]

Nichtsdestotrotz ergibt sich für $r$ eine kubische Gleichung der Form
[mm] $V=\alpha r^2+\beta r^3$, [/mm] wobei [mm] $\alpha=\frac{bh(l-c)}{s^2}$ [/mm] und [mm] $\beta=\frac{2bhc}{3s^3}$. [/mm]

Um diese zu lösen, substituiere ich [mm] $r=\frac{1}{x}$, [/mm] multipliziere die Gleichung mit [mm] $\frac{x^3}{V}$ [/mm] unb bringe (durch Addition) alles auf die linke Seite um die Gleichung [mm] $x^3-\frac{\alpha}{V}x-\frac{\beta}{V}=0$ [/mm] zu erhalten.

Um diese Gleichung zu lösen setze ich [mm] $p=\frac{\alpha}{3V}=\frac{bh(l-c)}{3s^2V}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{\beta}{2V}=\frac{bhc}{3s^3V}$. [/mm]
Die Gleichung lautet dann [mm] $x^3-3px-2q=0$. [/mm]

Nun muss man die Diskriminante (in diesem Fall) [mm] $D=q^2-p^3$ [/mm] betrachten. Man erhält dann
[mm] $D=\frac{b^2 h^2}{9V^2 s^6}\left(c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}\right)$. [/mm]

Ich nehme einmal an, dass die Diskriminante positiv ist, (sonst gibt es drei verschiedene reelle Lösungen, die man nur im Umweg über das komplexe(!) erhält).

Die einzige reelle Lösung ist in diesem Fall gegeben durch
[mm] $x=\sqrt[3]{q+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{D}} =\frac{1}{s}\sqrt[3]{\frac{bh}{3V}} \left(\sqrt[3]{c+\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}} + \sqrt[3]{c-\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}}\right)$ [/mm]

Für [mm] $r=\frac{1}{x}$ [/mm] ergibt sich dann

[mm] $r=s\sqrt[3]{\frac{3V}{bh}}\frac{1}{\sqrt[3]{c+\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}} + \sqrt[3]{c-\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}}}$. [/mm]

mfG Moudi

Bezug
                                                                
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Di 27.12.2005
Autor: m66-99

Hallo moudi,

Herzlichen Dank für diese hervorragende Arbeit und das Erlösen von tagelangem Kofzerbrechen!

Ich habe etwas gebraucht um die Herleitung zu verstehen; ich wäre wahrscheinlich nicht drauf gekommen; mit kubischen Gleichungen habe und hatte ich null Erfahrung!

Recht vielen Dank auch für das Aufmerksammachen auf den Fehler in meiner Volumenformel. Ich hatte übersehen, daß man ja das Volumen der durch s1 definierten kleinen Pyramide von dem entsprechend schrumpfenden Volumen des Prismas abziehen muss und habe fälschlich beim Prismavolumen die Länge des großen Prismas angestzt!

Ich muss checken ob für die gegebenen Masse die Determinante > 0 ist.  Das wird etwas dauern, weil es nicht so schnell geht das in die Tabellenkalulation einzugeben. Wenn nicht D>0 habe ich wohl Pech gehabt. In diesem Fall werde ich versuchen nach den Hinweisen auf http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel noch eine Lösung zu finden.

Nochmals meinen Dank und meine Hochachtung!

Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichung nach r auflösen: Noch ein paar Hinweise
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Mi 28.12.2005
Autor: moudi

Hallo m66-99

Ich habe die Lösung ein bisschen angeschaut und "schlechte" Nachrichten
für dich.

Die Diskriminante [mm] $D=\frac{b^2 h^2}{9V^2 s^6}\left(c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}\right)$ [/mm] wird - wenn V klein ist - mit Sicherheit negativ. Unabhängig wie gross dass V ist, ist $D$ mit Sichderheit negativ, wenn [mm] $l\geq [/mm] 3.1c$ ist.

In diesem Fall hat die Gleichung 3 Lösungen, eine postitive und zwei negative Lösungen. Es ist dann
[mm] $\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}=\imath \sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}$, [/mm] wobei [mm] $\imath=\sqrt{-1}$ [/mm] die imaginäre Einheit ist. Die Lösungsformel ist auch in diesem Fall gültig, wobei du darauf achten musst, dass du diejenige dritte Wurzel der komplexen Zahl
[mm] $\sqrt[3]{c+\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}}$ [/mm] berechnest, dessen Realteil positiv ist.

Die Summe der beiden dritten Wurzeln
[mm] $\sqrt[3]{c+\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{c-\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}}$ [/mm]
ist dann einfach der doppelte Realteil der dritten Wurzel, die du oben berechnest hast.

Uebrigens, wenn D negativ ist, gibt es keine Hoffnung, das Resultat nicht über die Berechnung komplexer Zahlen zu erhalten!
Man kann natürlich die komplexen Zahlen umgehen, wenn man die entsprechenden trigonometrischen Relation einsetzt:

Ist [mm] $A+\imath [/mm] B$ eine komplexe Zahl mit $A>0$, dann sei
[mm] $\varphi=\arctan(B/A)$ [/mm] und [mm] $\rho=\sqrt{A^2+B^2}$. [/mm]
Die Komplexe Zahl [mm] $z=\sqrt[3]{\rho}\cos(\varphi/3)+\imath\sqrt[3]{\rho}\sin(\varphi/3)$ [/mm] ist dann diejenige dritte Wurzel aus [mm] $A+\imath [/mm] B$, dessen Realteil positiv ist.
Es gilt dann [mm] $\sqrt[3]{A+\imath B}+\sqrt[3]{A-\imath B}=2\sqrt[3]{\rho}\cos(\varphi/3)$. [/mm]

In deinem Fall wäre $A=c$ und [mm] $B=\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}$. [/mm]

mfG Moudi

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