Gleichung nach alpha auflösen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Di 08.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo zusammen,
Ich tue mich gerade schwer eine Gleichung nach alpha aufzulösen..
Unter http://www.n3o.ch/test/parabel.pdf habe ich mal einen Ansatz.
Aber ich bekomme einfach keine Lösung hin.
[mm] \cos \alpha \* \left( \cos \alpha \* y - \sin \alpha \* x \right) = -1 \* \bruch{g \* x^2}{2 \* v^2}[/mm]
Gruss und Danke
GiA
PS: Ich habe auch schon versucht zu substituieren.. hat aber nicht geklappt, weil das ganze nachher 0 ergab :D
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo GiA,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen,
>
> Ich tue mich gerade schwer eine Gleichung nach alpha aufzulösen..
>
> Unter http://www.n3o.ch/test/parabel.pdf habe ich mal einen Ansatz.
> Aber ich bekomme einfach keine Lösung hin.
>
> [mm]\cos \alpha \* \left( \cos \alpha \* y - \sin \alpha \* x \right) = -1 \* \bruch{g \* x^2}{2 \* v^2}[/mm]
>
> Gruss und Danke
>
> GiA
>
> PS: Ich habe auch schon versucht zu substituieren.. hat
> aber nicht geklappt, weil das ganze nachher 0 ergab :D
>
Vielleicht helfen dir die ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme?
Ich denke da besonders an:
[mm] $\sin^2 \alpha [/mm] + [mm] \cos^2 \alpha [/mm] = 1$ und [mm] $\sin \alpha [/mm] * [mm] \cos \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sin (2\alpha)$
[/mm]
Welche Bedeutung haben die anderen Variablen, sind sie wenigstens konstant?
Es wäre sehr schön, wenn du wenigstens ein wenig beschreiben würdest, woher diese Gleichung kommt, in welchem Zusammenhang sie zu lösen und welche Vorkenntnisse du hast.
Bitte lies mal unsere Forenregeln, damit du weißt, was ich meine.
|
|
|
| |
|
Hallo, gia
die rechte Seite nenne ich mal c,
Umformung ergibt dann
$y* [mm] \cos [/mm] ^2 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \frac{x}{2}*\sin 2\alpha [/mm] = c$
[mm] $\frac{y}{2}(1 [/mm] + [mm] \cos 2\alpha) [/mm] - [mm] \frac{x}{2}*\sin 2\alpha [/mm] = c$
wenn Du nun noch y/2 nachr rechts bringst kannst Du
[Dateianhang nicht öffentlich]
benutzen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 08.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo FriedrichLaher,
Sollte es nicht so heissen?
[mm] \frac{y}{2}(1 + \cos 2\alpha) - \frac{x}{2}\cdot{}\sin 2\alpha = b [/mm]
(Minus und nicht Plus)
Hmm ich kann deinem Ansatz nicht ganz folgen, wofür stehen bei dir a,b,x etc.? Einmal verwendest du b für die rechte Seite und einmal als was anderes.
Könntest du mir bitte ein bisschen genauer erläutern wofür die Formeln sind? Habe mich versucht zu orientieren Mithilfe von http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html
Anmerkung
[mm]x = r \* \sin \alpha[/mm]
Das x in meiner Formel passt nicht zu diesem x hier
Unter http://www.matheforum.de/read?i=42941 habe ich versucht das Problem genauer zu Beschreiben.
Vielen Dank auch dir, dass du dir Zeitgenommen hast!
Gruss GiA
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Di 08.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo FriedrichLaher,
>
> Sollte es nicht so heissen?
> [mm]\frac{y}{2}(1 + \cos 2\alpha) - \frac{x}{2}\cdot{}\sin 2\alpha = b[/mm]
Gut. Nehmen wir das y/2 auf die andere Seite und multiplizieren wir die Gleichung mit 2 und dividieren das Ganze durch [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$.
[/mm]
[mm] $\cos(2\alpha)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-\sin(2\alpha)\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=b'$ [/mm]
Wobei b' ziemlich kompliziet ist.
Wir behaupten jetzt, dass es einen einedeutig definierten Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] gibt mit
[mm] $\cos(\varphi)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm] und [mm] $\sin(\varphi)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
[/mm]
(Weil für [mm] $x'=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm] und [mm] $y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm] gilt, dass $x'^2+y'^2=1$ liegt der Punkt $P(x',y')$ auf dem Einheitskreis. Zu diesem Punkt gehört der Polarwinkel [mm] $\varphi$.)
[/mm]
Wenn wir diese [mm] $\varphi$ [/mm] gefunden haben (Beachte [mm] $\tan(\varphi)=\frac{y'}{x'}$), [/mm] dann können wir die rechte Seite schreiben als:
[mm] $\cos(2\alpha)\cos(\varphi)-\sin(2\alpha)\sin(\varphi)=b'$. [/mm]
Das ist aber gerade das Additionstheorem des Cosinus und man erhält:
[mm] $\cos(2\alpha+\varphi)=b'$ [/mm] und daraus folgt
[mm] $\alpha=\frac12(\arccos(b')-\varphi)$.
[/mm]
mfG Moudi
>
> (Minus und nicht Plus)
>
> Hmm ich kann deinem Ansatz nicht ganz folgen, wofür stehen
> bei dir a,b,x etc.? Einmal verwendest du b für die rechte
> Seite und einmal als was anderes.
>
> Könntest du mir bitte ein bisschen genauer erläutern wofür
> die Formeln sind? Habe mich versucht zu orientieren
> Mithilfe von
> http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html
>
> Anmerkung
> [mm]x = r \* \sin \alpha[/mm]
> Das x in meiner Formel passt nicht
> zu diesem x hier
>
> Unter http://www.matheforum.de/read?i=42941 habe ich
> versucht das Problem genauer zu Beschreiben.
>
> Vielen Dank auch dir, dass du dir Zeitgenommen hast!
>
> Gruss GiA
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 09.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo moudi,
So müsste also die Formel aussehen:
[mm] \alpha=\bruch{1}{2} \* (\arccos(-1 * \bruch{g * x^2}{v^2 \* \wurzel{x^2 + y^2} })- \arctan( \bruch{x}{y} ) ) [/mm]
Um die Formel zu überprüfen setze ich mal die Werte ein in Formel 1 (Das ist die Grundformel woher wir deine Formel abgeleitet haben):
[mm]y = -1 * \left( \bruch{g}{2 \* v^2 * \cos^2 \alpha } \right) \* x^2 + \tan \alpha \* x + h [/mm]
Wenn ich nun die erhaltenen Werte in deine Formel einsetze bekomme ich ein komplett anderes alpha als in Formel 1 eingesetzt
Bin ich auf dem Holzweg?
Vielen Dank, dass du dir zeitnimmst!
Gruss GiA
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
>
> So müsste also die Formel aussehen:
>
> [mm]\alpha=\bruch{1}{2} \* (\arccos(-1 * \bruch{g * x^2}{v^2 \* \wurzel{x^2 + y^2} })- \arctan( \bruch{x}{y} ) )[/mm]
>
Ich erhalte für [mm] $\cos(2\alpha+\varphi)= -\frac{gx^2+v^2y}{v^2(x^2+y^2)}$.
[/mm]
Entsprechend
[mm] $\alpha=\frac12(\arccos(-\frac{gx^2+v^2y}{v^2(x^2+y^2)})-\arctan(\frac [/mm] xy))$.
Da ist ein kleiner Fehler
[mm] $\alpha=\frac12(\arccos(-\frac{gx^2+v^2y}{v^2\sqrt{x^2+y^2}})-\arctan(\frac [/mm] xy))$
Jetzt ist es richtig.
Allerdings gibt es noch weitere Probleme: Die Funktionen [mm] $\arctan$ [/mm] und [mm] $\arccos$ [/mm] liefern Winkel im Bereich -90° bis 90°. Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] nicht in diesem Bereich sind muss man selbständig noch die zweite Lösung berechnen.
mfG Moudi
>
> Um die Formel zu überprüfen setze ich mal die Werte ein in
> Formel 1 (Das ist die Grundformel woher wir deine Formel
> abgeleitet haben):
>
> [mm]y = -1 * \left( \bruch{g}{2 \* v^2 * \cos^2 \alpha } \right) \* x^2 + \tan \alpha \* x + h [/mm]
>
>
> Wenn ich nun die erhaltenen Werte in deine Formel einsetze
> bekomme ich ein komplett anderes alpha als in Formel 1
> eingesetzt
>
> Bin ich auf dem Holzweg?
>
> Vielen Dank, dass du dir zeitnimmst!
>
> Gruss GiA
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 09.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo moudi,
Ich habe mal die Werte nachgerechnet:
http://www.n3o.ch/test/alpha2.pdf
Wobei ich das eingesetzt habe:
v = 5.3
g = 9.81
x = 0.1
y = wurde errechnet
alpha = variiert
Mit dieser Formel:
[mm]y = -1 \cdot{} \left( \bruch{g}{2 * v^2 \cdot{} \cos^2 \alpha } \right) * x^2 + \tan \alpha * x + h[/mm]
Danach habe ich die Werte in deine Formel gesetzt:
[mm] \alpha=\frac12(\arccos(-\frac{gx^2+v^2y}{v^2(x^2+y^2)})-\arctan(\frac xy)) [/mm]
In der Spalte Zürckrechnen sieht man die errechneten Werte, aber keines stimmt überrein?
Ist es möglich, das all diese Winkel die ich probiert habe zur 2ten Lösung gehören?
> Allerdings gibt es noch weitere Probleme: Die Funktionen [mm] $\arctan$ [/mm]
> und [mm] $\arccos$ [/mm] liefern Winkel im Bereich -90° bis 90°. Wenn [mm] $\varphi$ [/mm]
> nicht in diesem Bereich sind muss man selbständig noch die zweite
> Lösung berechnen.
Hmm was müsste ich anderst machen?
Vielen Dank!
Gruss GiA
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo GiA
Ich habe x=5, v=3, g=9.81 [mm] $\alpha=20°$ [/mm] in die Formel eingesetzt und dafür y=-13.61 bekommen.
Dann habe ich mit meiner Formel zurückgerechnet, wobei ich für
[mm] $\varphi=180°+\arctan(x/y)$ [/mm] genommen haben.
Und siehe da, ich habe [mm] $\alpha=20°$ [/mm] bekommen.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo GiA
Ich habe deine Tabelle (nicht die ganze) mit meiner Rückformel nachgerechnet
und bin auf folgendes Ergebnis gestosen:
Ist y negativ, so muss man [mm] $\varphi=180°+\arctan(x/y)$ [/mm] verwenden.
Ist y positiv, so stimmt es mit [mm] $\varphi=\arctan(x/y)$.
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
Es war ein kleiner Fehler in der Formel
(fehlende Wurzel im Nenner) ist jetzt korrigiert worden.
Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 09.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo moudi,
Vielen dank nun klappt es auch bei mir!
Vielen Dank allen die mir geholfen haben!
Gruss GiA
|
|
|
| |
|
Hallo, GiA
> Hallo FriedrichLaher,
>
> Sollte es nicht so heissen?
> [mm]\frac{y}{2}(1 + \cos 2\alpha) - \frac{x}{2}\cdot{}\sin 2\alpha = b[/mm]
>
> (Minus und nicht Plus)
ja, da hab' ich nicht aufgepaßt. Danke für den Hinweis, ich hab's korrigiert.
Den Hinweise hättest Du mir auch mit einer "Privaten Nachricht" geben können.
>
> Hmm ich kann deinem Ansatz nicht ganz folgen, wofür stehen
> bei dir a,b,x etc.? Einmal verwendest du b für die rechte
> Seite und einmal als was anderes.
ok, das habe ich jetzt auch geändert, zu c
Für $x$ in meinem Bild mußt Du Dein [mm] $2\alpha$ [/mm] einsetzen, für meine $a,b$ deine [mm] $\frac{y}{2},\frac{x}{2}$ [/mm]
>
> Könntest du mir bitte ein bisschen genauer erläutern wofür
> die Formeln sind? Habe mich versucht zu orientieren
> Mithilfe von
> http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html
eine schöne Seite, aber bei der Aufgabe Die Du gestellt hast ( Dir gestellt wurde )
meinte ich eigentlich, daß Du darüber hinaus wärst
>
> Anmerkung
> [mm]x = r \* \sin \alpha[/mm]
> Das x in meiner Formel passt nicht
> zu diesem x hier
>
> Unter http://www.matheforum.de/read?i=42941 habe ich
> versucht das Problem genauer zu Beschreiben.
das führt durchaus auf eine Formel der Struktur deines ersten Postings
so daß das "x" nicht mehr von [mm] $\alpha$ [/mm] abhängt.
>
> Vielen Dank auch dir, dass du dir Zeitgenommen hast!
>
> Gruss GiA
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 09.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo FriedrichLaher,
In deiner Antwort von:
http://www.matheforum.de/read?i=42947
seh ich, dass ich r und phi berrechnen kann, aber ich sehe dann das weitere vorgehen nicht? Könntest du das ein bisschen genauer erläutern.. den mit diesen Additionstheoremen (oder wie die auch immer heissen :D) hatte ich eigentlich noch nie zu tun.
Danke und Gruss GiA
|
|
|
| |
|
Hallo, gia
die mails scheinen mich stark verzögert zu erreichen.
Ich nehem an, Deine jetzige Frage ist mit ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)] erledigt.
Wenn Du $r, [mm] \phi$ [/mm] hast bleibt eine Gleichung der Form [mm] $r*\sin [/mm] ( Unbekannte + [mm] \phi [/mm] ) = RechteSeite$ .
...
ja, das sind Additionstheoreme, die ich verwendet habe.
Ein anderer Weg ohne Additionstheorem wäre natürlich gewesen,
[mm] $\sin \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha}$ [/mm] in die Ursprüngliche Gleichung einzusetzen.
|
|
|
| |
|
Hallo, gia
die mails scheinen mich stark verzögert zu erreichen.
Ich nehem an, Deine jetzige Frage ist mit [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)] erledigt.
Wenn Du $r, [mm] \phi$ [/mm] hast bleibt eine Gleichung der Form [mm] $r*\sin [/mm] ( Unbekannte + [mm] \phi [/mm] ) = RechteSeite$ .
...
ja, das sind Additionstheoreme, die ich verwendet habe.
Ein anderer Weg ohne Additionstheorem wäre natürlich gewesen,
[mm] $\sin \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha}$ [/mm] in die Ursprüngliche Gleichung einzusetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 09.02.2005 | | Autor: | gia |
Hallo FriedrichLaher,
Auch dir Vielen dank für die Hilfe!
Aus Interesse, wie würde man dann die Rechnung weiter vereinfachen?
[mm] \cos \alpha * \left( \cos \alpha * y - \wurzel{1 - \cos^2 \alpha} * x \right) = -1 * \bruch{g * x^2}{2 * v^2} [/mm]
Dazu müsste ich ja irgendwie alles mal quadrieren.. und wenn ich mich nicht täusche muss man doch aufpassen beim quadrarieren, da eine Lösung dazukommen könnte?
Danke und Gruss GiA
|
|
|
| |
|
Hallo, gia
ja, man muß quadrieren und erhält eine Gleichung der Form
[mm] $(\cos [/mm] ^2 [mm] \alpha )^2 [/mm] + [mm] P*(\cos [/mm] ^2 [mm] \alpha) [/mm] + Q = 0$
und muß sich die passende(n) Lösunge(n) heraussuchen
und interpretieren - wie auch bei der anderen Methode
und fast immer, sobald es keine lineare Gleichung ist.
|
|
|
|
