Gleichung mit zwei VariablenII < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vee |
| Aufgabe | | Die Summe zweier Zahlen ist 15. Addiert man das dreifache der ersten Zahl zum vierfacken der zweiten Zahl erhält man 54. |
Wieder eine Aufgabe meiner Tochter. Ich möchte noch anmerken, dass ich diese Aufgaben auch für mich selber lernen möchte, da ich irgendwann das Fachabi machen möchte und mich somit durch sämtliche Jahrgänge arbeite. Doch hier scheitere ich jedes mal.
Folgende Formel habe ich versucht aufzustellen, bin mir aber fast sicher, dass sie nicht stimmt:
a+b=15
[(15-b)*3]+[(15-a)*4]=54
dann habe ich versucht, zusammenzufassen, bzw. aufzulösen
45-3b+60-4a=54
105-3b-4a=54
-3b-4a=-51
-4a=-51+3b
an dieser Stelle habe ich die Aufgabe abgebrochen, weil ich im Prinzip keine Ahnung habe, was ich da überhaupt mache.
für Erklärungen und Lösungen wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Di 09.04.2013 | | Autor: | chrisno |
> Die Summe zweier Zahlen ist 15. Addiert man das dreifache
> der ersten Zahl zum vierfacken der zweiten Zahl erhält man
> 54.
> ....
> a+b=15
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für den übernächsten Schritt umformen:
a = 15-b
> [(15-b)*3]+[(15-a)*4]=54
zu kompliziert, lieber erst den Text direkt umsetzen:
3a+4b=54
und nun anstelle von a die (15-b) hinschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vee |
3a+4b=54
3(15-b)+4b=54
45-3b+4b=54
45+1b=54
1b=9
b=9
vielen dank soweit, ich hoffe, das stimmt bis jetzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 09.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun kommt die zweite Antwort, wieder geht es darum, von vornherein eine Aufgabe in nur einer Variablen daraus zu machen.
Gesucht ist a, dann ist die andere Zahl 15-a
Also muss 3a + 4(15-a) = 54 gelten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vee |
3a+4(15-a)=54
3a+60-4a=54
3a-4a=-6
-1a=-6
a=6
Stimmts so? vielen Dank nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> 3a+4(15-a)=54
> 3a+60-4a=54
> 3a-4a=-6
> -1a=-6
> a=6
Was besagt das Ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Vee,
wie du die Aufgabe auf zwei Arten lösen kannst, hat dir chrisno ja schon erklärt. Hier noch Ergänzungen zu deinem Ansatz mit zwei Variablen:
> a+b=15
> [(15-b)*3]+[(15-a)*4]=54
> dann habe ich versucht, zusammenzufassen, bzw.
> aufzulösen
> 45-3b+60-4a=54
> 105-3b-4a=54
> -3b-4a=-51
> -4a=-51+3b
>
> an dieser Stelle habe ich die Aufgabe abgebrochen, weil ich
> im Prinzip keine Ahnung habe, was ich da überhaupt mache.
Es ist wichtig, sich zunächst klarzumachen (und zu notieren), was $a$ und $b$ eigentlich bezeichnen sollen: Die beiden Zahlen, die von der gewünschten Gestalt aus der Aufgabenstellung sein sollen.
Nun kannst du die Informationen aus der Aufgabenstellung in Gleichungen umsetzen: Es gilt
(i) $a+b=15$ und
(ii) $3a+4b=54$.
Du hast nun, wenn auch nicht sonderlich zweckmäßig, so doch völlig korrekt mithilfe von (i) die Gleichung (ii) äquivalent umgeformt zu
(ii') $3(15-b)+4(15-a)=54$.
Du solltest unbedingt die Gleichung (i) nicht aus den Augen verlieren und sie der Übersicht halber am besten zusammen mit (ii') notieren: Zahlen $a$ und $b$ sind genau dann von der gewünschten Gestalt, wenn
(i) $a+b=15$ und
(ii') $3(15-b)+4(15-a)=54$
gelten.
Nun hast du wieder völlig korrekt (ii') umgeformt zu
(ii'') $-4a=-51+3b$.
Wieder die Gleichung (i) nicht vergessen: Zahlen $a$ und $b$ sind genau dann von der gewünschten Gestalt, wenn
(i) $a+b=15$ und
(ii'') $-4a=-51+3b$
gelten.
Dieses Gleichungssystem könntest du nun mittels Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.
Aber chrisno hat völlig recht: Du kannst dir die Sache wie von ihm gezeigt viel einfacher machen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vee |
| Aufgabe | | Danke und bitte, wenn möglich, um Erklärung |
Hallo, das was Chrisno mir erklärt hat, hat mir sehr sehr geholfen.
Leider weiß ich deine Lösungsvorschläge nicht umzusetzen. Wenn du möchtest, wäre ich dankbar, wenn du mir die drei Möglichkeiten erklärst. Ich verstehe zwar die logische Bedeutung von Einsetzungs- Additions- und Gleichsetzungsverfahren, bin aber mit der Materie nicht vertraut. Ich beginne gerade erst, mich in diese ganzen Sachen einzuarbeiten und scheitere leider schon an den Hauptschulaufgaben meiner Kinder. Puuh... Aber man lernt ja nie aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
OK, lösen wir also als Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mal das Gleichungssystem
(i) $5x+7y=-3$
(ii) $3x+4y=-2$
zunächst mit der Einsetzungsmethode.
Meiner Meinung nach sollte man sich dabei angewöhnen, nur Äquivalenzumformungen durchzuführen. Dazu wird man immer wieder zwei Gleichungen hinschreiben. Das ist zwar mehr Schreibarbeit, aber man behält stets die Übersicht, was besonders für schwierigere Aufgaben wichtig ist (z.B. Aufgaben ohne eindeutige Lösung oder mit komplizierteren Gleichungen oder mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen). Und man kann sich stets klarmachen, was die Gleichungen eigentlich bedeuten anstatt wild unverstanden mit Gleichungen herumzuhantieren.
Einsetzungsverfahren: "Eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen."
Lösen wir also beispielsweise die Gleichung (i) schrittweise nach x auf: (i) ist äquivalent zu (i') $5x=-3-7y$.
Somit ist das Gleichungssystem (i) und (ii) äquivalent zu
(i') $5x=-3-7y$
(ii) $3x+4y=-2$.
Weiter im Auflösen von (i') nach x: (i') ist äquivalent (i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$. [/mm] Somit ist unser Gleichungssystem äquivalent zu
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii) $3x+4y=-2$.
Nun das Einsetzen der nach einer Variablen aufgelösten Gleichung (i') in die andere Gleichung (ii): Wir erhalten so (ii') [mm] $3*(-\bruch35-\bruch75y)+4y=-2$. [/mm] Das Gleichungssystem (i'') und (ii) ist somit äquivalent zu
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii') [mm] $3*(-\bruch35-\bruch75y)+4y=-2$
[/mm]
Nun haben wir mit (ii') eine Gleichung mit nur einer Variable, die wir lösen können! Tun wir dies schrittweise: (ii') ist äquivalent zu (ii'') [mm] $-\bruch95-\bruch{21}5y+\bruch{20}5y=-\bruch{10}5$. [/mm] Also ist unser Gleichungssystem äquivalent zu
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii'') [mm] $-\bruch95-\bruch{21}5y+\bruch{20}5y=-\bruch{10}5$.
[/mm]
(ii'') wiederum ist äquivalent zu (ii''') [mm] $-\bruch15y=-\bruch{1}5$. [/mm] Also ist unser Gleichungssystem äquivalent zu
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii''') [mm] $-\bruch15y=-\bruch{1}5$
[/mm]
(i''') ist äquivalent zu (i'''') $y=1$. Also ist das Gleichungssystem äquivalent zu
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(i'''') $y=1$
Jetzt, nachdem wir eine Gleichung vollständig nach einer Variable auflösen konnten, können wir (übrigens bei allen drei Verfahren, nicht nur beim Einsetzungsverfahren), diese Gleichung in die andere einsetzen: (i''') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75*1$. [/mm] Unser Gleichungssystem ist also äquivalent zu
(i''') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75*1$
[/mm]
(i'''') $y=1$.
(i''') wiederum ist äquivalent zu (i'''') $x=-2$. Also ist unser Gleichungssystem äquivalent zu
(i'''') $x=-2$
(i'''') $y=1$.
Das bedeutet: Zahlen x und y lösen genau dann die Ausgangsgleichungen (i) und (ii), wenn x=-2 und y=1 ist.
Als kürzere Schreibweise kann man auch nur die Gleichungssysteme aufschreiben und kurz notieren, was man tut:
(i) $5x+7y=-3$ |-7y
(ii) $3x+4y=-2$
(i') $5x=-3-7y$ |:5
(ii) $3x+4y=-2$
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii) $3x+4y=-2$ |(i'') einsetzen
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii') [mm] $3*(-\bruch35-\bruch75y)+4y=-2$ [/mm] |beide Seiten getrennt umformen
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii'') [mm] $-\bruch95-\bruch{21}5y+\bruch{20}5y=-\bruch{10}5$ |+$\bruch95$
[/mm]
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$
[/mm]
(ii''') [mm] $-\bruch15y=-\bruch{1}5$ |$:(-\bruch15)$
[/mm]
(i'') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75y$ [/mm] |(i'''') einsetzen
(i'''') $y=1$
(i''') [mm] $x=-\bruch35-\bruch75*1$ [/mm] |rechte Seite ausrechnen
(i'''') $y=1$
(i'''') $x=-2$
(i'''') $y=1$
Falls du an Erklärungen von mir zu den anderen beiden Verfahren auch noch interessiert bist, melde dich bitte nochmal. Zunächst solltest du aber das Einsetzungsverfahren an einer Beispielaufgabe selbst üben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 09.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Einsetzungsverfahren hast du angewendet, du hast aus der einen gleichung a ausgerechnet und in die andere eingesetzt.
bei 2 gleichungen mit 2 unbkannten ist das oft das schnellste.
Additionsverfahren:
1) a + b= 15
2) 3a +4b= 54
ultiplizier eine der Gleichungen so, dass bei den Unbekannten der neg, faktor der anderen steht: hier 1)*(-3= ergibt
1*) -3a -3b=-45
2) 3a+ 4b= 54
addiere die linken und rechten Seiten
1*)+2)
0+b=9
b=9
am Ende noch b in eine der 2 gl einstzen in 1)
a+9=15; a=6
seltener, aber auch richtig: Gleichsetzungsverfahren:
aus 1) a=15-b
aus 2) a=54/3.4/3b
da die 2 linken seiten gleich sind, sind es auch die 2 rechten
also 15-b=18-4/3b
b-4/3b=18-15
1/3b=3
b=9
statt beide gl, als a=.. zu schreiben könntest du auch beide als 3a=-- schreiben.
Gruss leduart
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Einsetzungs und Gleichsetzungsverfahren