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| Aufgabe | Löse folgende Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen
( -i + [mm] \wurzel{3} [/mm] ) ⋅ i * [mm] z^{2} [/mm] + [mm] (7-i)^{10i} [/mm] ⋅ z + 1 - [mm] \wurzel{3} [/mm] ⋅ i = 0 |
* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe-Zahlen-Gleichung
Also ich bräuchte bitte Erklärungen zu der Aufgabe, da ich Teile vom Lösungsweg nicht verstehe..
Also zuerst eine Nebenrechnung zu [mm] (7-i)^{10i} [/mm] = [mm] e^{10i*ln(7-i)}
[/mm]
für (7-i) kommt raus (r=7,07 und phi = 6,14i) ... Nun, steht in meiner Lösung das in die Formel eingesetzt:
[mm] e^{10i * ln(7,07) - 61,4}
[/mm]
Irgendwie kommts mir da vor, als ob die 10i in den logarithmus hineinmultipliziert worden sind (10i * 6,14i = -61,4) , doch wie lautet die Regel dazu, dass man das einfach hineinmultiplizieren darf?
Und danoch kommt die Zeile
[mm] e^{10i * ln(\wurzel{50})} [/mm] * [mm] e^{-61,4} [/mm] = 0 ... wie komm ich auf die [mm] \wurzel{50} [/mm] und warum kommt am Ende 0 raus?
Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..
Mfg
Snow
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Hallo snowrabbit und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Löse folgende Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen
>
> ( -i + [mm]\wurzel{3}[/mm] ) ⋅ i * [mm]z^{2}[/mm] + [mm](7-i)^{10i}[/mm] ⋅
> z + 1 - [mm]\wurzel{3}[/mm] ⋅ i = 0
> * Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe-Zahlen-Gleichung
>
>
> Also ich bräuchte bitte Erklärungen zu der Aufgabe, da ich
> Teile vom Lösungsweg nicht verstehe..
>
> Also zuerst eine Nebenrechnung zu [mm](7-i)^{10i}[/mm] =
> [mm]e^{10i*ln(7-i)}[/mm]
>
> für (7-i) kommt raus (r=7,07 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und phi = 6,14i ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") )
Doch eher [mm] $\varphi=6,14$ [/mm] ohne i
> ... Nun, steht in meiner Lösung das in die Formel eingesetzt:
>
> [mm]e^{10i * ln(7,07) - 61,4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Irgendwie kommts mir da vor, als ob die 10i in den
> logarithmus hineinmultipliziert worden sind (10i * 6,14i =
> -61,4) , doch wie lautet die Regel dazu, dass man das
> einfach hineinmultiplizieren darf?
Es ist $7-i=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}=7,07\cdot{}e^{6,14i}$
Also $(7-i)^{10i}=\left[7,07\cdot{}e^{6,14i\right]^{10i}=7,07^{10i}\cdot{}\left[e^{6,14i}\right]^{10i}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)}\cdot{}e^{-61,4}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)-61,4}$
> Und danoch kommt die Zeile
>
> [mm]e^{10i * ln(\wurzel{50})}[/mm] * [mm]e^{-61,4}[/mm] = 0 ... wie komm ich
> auf die [mm]\wurzel{50}[/mm]
Na, das ist doch dein [mm] $r=|7-i|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\approx [/mm] 7,07$ von oben
> und warum kommt am Ende 0 raus?
Da weiß ich leider auch nicht, was hier gemacht wurde/wird.
Vllt. kannst du etwas mehr vom Lösungsweg posten, dann erschließt sich (mir) das vielleicht ..
>
> Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..
>
> Mfg
> Snow
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 So 05.04.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo schachuzipus,
> Also
> [mm](7-i)^{10i}=\left[7,07\cdot{}e^{6,14i\right]^{10i}=7,07^{10i}\cdot{}\left[e^{6,14i}\right]^{10i}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)}\cdot{}e^{-61,4}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)-61,4}[/mm]
>
> > Und danoch kommt die Zeile
> >
> > [mm]e^{10i * ln(\wurzel{50})}[/mm] * [mm]e^{-61,4}[/mm] = 0 ... wie komm ich
> > auf die [mm]\wurzel{50}[/mm]
>
> Na, das ist doch dein
> [mm]r=|7-i|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\approx 7,07[/mm] von oben
>
> > und warum kommt am Ende 0 raus?
>
> Da weiß ich leider auch nicht, was hier gemacht
> wurde/wird.
Bedenke, daß
[mm]e^{-61,4} = .000000000000000000000000002159... \approx 0[/mm]
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> Vllt. kannst du etwas mehr vom Lösungsweg posten, dann
> erschließt sich (mir) das vielleicht ..
>
> >
> > Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..
> >
> > Mfg
> > Snow
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Gruß
MathePower
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Das ganze ist ja eine quadratische Gleichung der Form
$\ [mm] a*z^2+b*z+c\ [/mm] =\ 0$
Für den Koeffizienten $\ b$ bekomme ich:
$\ b\ =\ [mm] (7-i)^{10i}\ \approx\ 3.133+2.696\,i$
[/mm]
Als Lösungen für die quadratische Gleichung liefert der
Rechner dann:
$\ [mm] z_1\ \approx\ 0.183+0.428\,i$ [/mm] $\ [mm] z_2\ \approx\ -2.134+0.255\,i$
[/mm]
LG
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