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Hallo
Hab folgendes Problem
Zeogn Sie daß, die Gleichung [mm] z^{2}+az+b [/mm] für [mm] a^{2}<4b [/mm] genau zwei verschiedene komplexe Lösungen hat.
ist das so gemeint
[mm] a^{2}<4b
[/mm]
b> [mm] \bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] z^{2}+az+bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] =(z^2+(bruch{a}{2})^{2}
[/mm]
und von dem die Nullstellen berechnen
wie löst man das am besten?
Indem man für z=a+bi einsetzt
Danke
lg Stevo
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Hi Stevo,
ich würde das folgendermaßen machen:
zunächst fängst du wie gewohnt mit der quadratischen ergänzung an. Irgendwann kommst du an die stelle
[mm] $z^2+az+b=(z+a/2)^2-(a^2/4-b)$
[/mm]
In dem Fall, der in deiner aufgabe vorgegeben ist, ist der term hinten in der klammer negativ, die standard-lösung mit der 3. binomischen formel ist also (erstmal) nicht möglich. Der Trick ist jetzt einfach ein [mm] $i^2$ [/mm] dazuzumogeln und die klammer ebenfalls mit $-1$ zu multiplizieren. So kannst du wie gewohnt weiterrechnen, nur dass halt ein $i$ in den Lösungen erscheint. Die Lösungen sind dann komplex konjugiert.
Klar?
Viele Grüße
Matthias
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Hab ich das so richtig verstanden
(z+ [mm] \bruch{a}{2})^{2}-( \bruch{a^{2}}{4}-b)=0
[/mm]
(z+ [mm] \bruch{a}{2})^{2}-i^{2}(b- \bruch{a^{2}}{4})=0
[/mm]
[mm] z=-\bruch{a^{2}}{4} \pm [/mm] i [mm] \wurzel{b- \bruch{a^{2}}{4}}
[/mm]
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Hallo Stevarino,
meiner Meinung nach müsste es heißen:
[mm]z=-\bruch{a}{2} \pm[/mm] i [mm]\wurzel{b- \bruch{a^{2}}{4}}[/mm]
Wenn Du das einsetzt in
> [mm](z+ \bruch{a}{2})^{2}-( \bruch{a^{2}}{4}-b)=0[/mm]
erhältst Du 0 als Ergebnis.
Gruß Richard
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