Gleichung mit 5 Variabeln < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(a,b,x,y,z)=199,77 a² + 975,86 b² + 577,27 x² + 648,04 y² + 24,53 z²
a+b+x+y+z=1 (nebenbedingung) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1640672#post1640672 und http://www.gutefrage.net/nutzer/Piggi123/antworten-auf-fragen/1
Ich würde gerne das Minimum der oben angegebenen Funktion bestimmen.
Dafür habe ich versucht die partiellen Ableitungen der Variabeln zu bilden. Allerdings komme ich ab diesem Punkt nicht weiter. Kann mir hierbei jemand helfen?
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> f(a,b,x,y,z)=199,77 a² + 975,86 b² + 577,27 x² + 648,04
> y² + 24,53 z²
>
> a+b+x+y+z=1 (nebenbedingung)
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1640672#post1640672
> und
> http://www.gutefrage.net/nutzer/Piggi123/antworten-auf-fragen/1
>
> Ich würde gerne das Minimum der oben angegebenen Funktion
> bestimmen.
> Dafür habe ich versucht die partiellen Ableitungen der
> Variabeln zu bilden. Allerdings komme ich ab diesem Punkt
> nicht weiter. Kann mir hierbei jemand helfen?
hast Du das mit der Multiplikatorenregel von Lagrange probiert ?
Zeig Deine Rechnungen
FRED
>
> Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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| Aufgabe | f(a,b,c,d,e) = 199,77a² + 975,86b² + 577,27c² + 648,04d²+24,53e²
g(a,b,c,d,e) = a+b+c+d+e-1
L(a,b,c,d,e,lambda)= f(a,b,c,d,e) +lambda * g(a+b+c+d+e-1)
L´a(a,b,c,d,e,lambda) = 399,54 a + lambda
.... |
Ich habe anfänglich Lagrange angewandt, doch einen Fehler eingebaut. Nachdem ich es noch einmal versucht habe, habe ich plausible Werte für die Variabeln erhalten. (a= 0,099970558, b=0,020465147, c=0,034595802, d=0,030817725, e=0,814150769)
Aus dem Ergebnis ist jedoch eine weitere Frage entstanden.
Wie kann ich hier noch eine Nebenbedingung einbauen, dass alle Variabeln positiv sind und nicht nur Ihre Summe.
(Das Problem ist bei einer alternativen Aufgabe aufgetaucht, die ich ebenfalls auf diesem Weg lösen wollte).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 10.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(a,b,c,d,e) = 199,77a² + 975,86b² + 577,27c² +
> 648,04d²+24,53e²
> g(a,b,c,d,e) = a+b+c+d+e-1
>
> L(a,b,c,d,e,lambda)= f(a,b,c,d,e) +lambda * g(a+b+c+d+e-1)
> L´a(a,b,c,d,e,lambda) = 399,54 a + lambda
> ....
> Ich habe anfänglich Lagrange angewandt, doch einen Fehler
> eingebaut. Nachdem ich es noch einmal versucht habe, habe
> ich plausible Werte für die Variabeln erhalten. (a=
> 0,099970558, b=0,020465147, c=0,034595802, d=0,030817725,
> e=0,814150769)
die Werte kann ich mit Excel bestätigen.
> Aus dem Ergebnis ist jedoch eine weitere Frage entstanden.
> Wie kann ich hier noch eine Nebenbedingung einbauen, dass
> alle Variabeln positiv sind und nicht nur Ihre Summe.
> (Das Problem ist bei einer alternativen Aufgabe
> aufgetaucht, die ich ebenfalls auf diesem Weg lösen
> wollte).
Dann kommen die Nebenbedingungen [mm]a\ge{0}, \ b\ge{0}, \ c\ge{0}, \ d\ge{0}, \ e\ge{0}[/mm] hinzu.
Du musst auch vorsichtig sein. Du hast zwischen den Varibalenbezeichnern gewechselt. Am Anfang hast du noch a,b,x,y,z geschrieben, jetzt a,b,c,d,e. Das mag bei der Aufgabe kein Problem darstellen... Aber es gibt durchaus Aufgaben, bei denen auf so etwas geachtet werden muss.
Gruß
barsch
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Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Bestätigung der Lösungen.
Ich muss gestehen, ich habe Lagrange bisher nur mit einer Gleichung und einer Nebenbedingung kennengelernt, kann ich die fünf neuen Nebenbedigungen noch einflechten? Oder muss ich hier anders vorgehen?
Es wäre super, wenn du mir evtl. Ansatz nennen könntest, mit dem ich mich dann an die Ableitungen wagen kann.
(PS: Mir ist auch aufgefallen, dass ich die Variablen zwischendurch umbenannt habe. Danke nochmal für den Hinweis, das werde ich versuchen zu vermeiden.)
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Hallo Sunnymoon,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Bestätigung
> der Lösungen.
>
> Ich muss gestehen, ich habe Lagrange bisher nur mit einer
> Gleichung und einer Nebenbedingung kennengelernt, kann ich
> die fünf neuen Nebenbedigungen noch einflechten? Oder muss
> ich hier anders vorgehen?
>
Aus den Lösungen des Problems, suchst Du Dir diejenige heraus,
für die [mm]a \ge 0, \ b \ge 0, \ c \ge 0, \ d \ge 0, \ e \ge 0[/mm].
> Es wäre super, wenn du mir evtl. Ansatz nennen könntest,
> mit dem ich mich dann an die Ableitungen wagen kann.
>
> (PS: Mir ist auch aufgefallen, dass ich die Variablen
> zwischendurch umbenannt habe. Danke nochmal für den
> Hinweis, das werde ich versuchen zu vermeiden.)
>
Gruss
MathePower
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e = 0,860765982
d = 0,02475609
c = 0,075365536
b = -0,051246204
a = 0,091530062
Dies sind die Lösungen für mein anderes Gleichungssystem. Zum Verständnis: Diese Angaben sind Verteilungen eines Kuchens, der sich zu 1 ergänzen muss.
Natürlich ergänzt er sich auch so zu 1, allerdings ist eine negative Gewichtung nur theoretisch für mich möglich, jedoch nicht praktisch umsetzbar. (die Variable b ist hier mein Sorgenkind). Damit dieses Ergebnis erst gar nicht vorkommt, frage ich mich, ob ich die Restriktion, dass alle Variablen größer/ gleich 0 sein müssen, vorher schon einbauen kann?
Vielleicht ist die Frage so etwas besser formuliert?
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Hallo Sunnymoon,
> e = 0,860765982
> d = 0,02475609
> c = 0,075365536
> b = -0,051246204
> a = 0,091530062
>
> Dies sind die Lösungen für mein anderes Gleichungssystem.
> Zum Verständnis: Diese Angaben sind Verteilungen eines
> Kuchens, der sich zu 1 ergänzen muss.
> Natürlich ergänzt er sich auch so zu 1, allerdings ist
> eine negative Gewichtung nur theoretisch für mich
> möglich, jedoch nicht praktisch umsetzbar. (die Variable b
> ist hier mein Sorgenkind). Damit dieses Ergebnis erst gar
> nicht vorkommt, frage ich mich, ob ich die Restriktion,
> dass alle Variablen größer/ gleich 0 sein müssen, vorher
> schon einbauen kann?
>
So wie die Nebenbedingung aussehen,
fällt das wohl in den Bereich der Nichtlinearen Optimierung.
> Vielleicht ist die Frage so etwas besser formuliert?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 12.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 10.07.2012 | | Autor: | leduart |
Edit ich hatte die Nebenbedingung nicht gesehen, also ist die Antwort hinfällig
Hallo
da für jede Wahl deiner Variablen [mm] f\ge [/mm] 0 gilt und f=0 nur für alle Variablen =0 gilt, brauchst du für dieses (einzige) Minimum keine Differentialrechnung.
Gruss leduart
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| Aufgabe | f(a,b,c,d,e)=199,77a²+975,86b²+577,27c²+648,04d²+24,53e²+549,8ab+ 259,28ac.... usw. (hier folgen noch 8 ähnliche Terme)
g(a,b,c,d,e)= a+b+c+d+e-1 |
Vielen Dank für die Antwort.
Wenn ich aber eine andere Gleichung habe, für deren Variablen nicht $ [mm] f\ge [/mm] $ 0 gilt, dann müsste ich doch auch einbauen können, dass alle Variablen aus $ [mm] f\ge [/mm] $ 0 sind, oder?
Vielleicht verstehe ich deine Antwort auch nicht ganz richtig.
Die Gleichung um die es mir in diesem konkreten Fall geht, habe ich oben einmal aufgeschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 10.07.2012 | | Autor: | barsch |
Siehe obige Antwort von mir.
Wenn [mm] $a,b,c,d,e\ge{0}$ [/mm] gelten soll, musst du diese Nebenbedingungen einbauen!
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