Gleichung m. Floor-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie für $n\ in [mm] \mathbb{N}, [/mm] r [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] dass gilt:
$ [mm] \floor[\frac{\floor[rn]}{n}] [/mm] = [mm] \floor[r]$ [/mm] |
Hallo ihr lieben,
Ich wüsste gerne, ob mein folgender Beweis akzeptabel ist und ob es ggf. einen 'schöneren' Beweis hierfür gibt (oder einfach eine Alternative, denn alternative Beweisideen sind mir immer willkommen):
Allgemein gilt für $k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $x [mm] \in \mathbb{R}$:
[/mm]
(1) $k [mm] \le \floor[x] \leftrightarrow k \le x$, d.h. dann also
$k \le \floor[ \frac{\floor[rn]}{n}] \leftrightarrow k \le \frac{\floor[rn]}{n} \leftrightarrow kn \le \floor[rn] \leftrightarrow k \le r \leftrightarrow k \le \floor[r]$.
Setze ich nun $k = \floor[r]$ erhalte ich die Ungleichung
$\floor[r] \le \floor[ \frac{\floor[rn]}{n}]$.
(2) Ich betrachte nun
$ k \ge \floor[\frac{\floor[rn]}{n}] \leftrightarrow ... $ und erhalte hierbei letztlich für k = [r] die Ungleichung:
$\floor[r] \ge \floor[\frac{\floor[rn]}{n}]$.
Aus (1) und (2) erhalte ich dann das Gewünschte.
Lg, K.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 09.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie für [mm]n\ in \mathbb{N}, r \in \mathbb{R}[/mm], dass
> gilt:
>
> [mm]\floor[\frac{\floor[rn]}{n}] = \floor[r][/mm]
> Hallo ihr
> lieben,
>
> Ich wüsste gerne, ob mein folgender Beweis akzeptabel ist
> und ob es ggf. einen 'schöneren' Beweis hierfür gibt
> (oder einfach eine Alternative, denn alternative
> Beweisideen sind mir immer willkommen):
Dein Beweisteil 1. ist meiner Meinung nach gut, aber...
>
> Allgemein gilt für [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm] und [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]:
>
> (1) [mm]k \le \floor[x] \leftrightarrow k \le x[/mm], d.h. dann also
>
> [mm]k \le \floor[ \frac{\floor[rn]}{n}] \leftrightarrow k \le \frac{\floor[rn]}{n} \leftrightarrow kn \le \floor[rn] \leftrightarrow [/mm]
... diese Aequivalenz koennte man noch ausfuehrlicher begruenden. Uebrigens geht hier die Voraussetzung [mm] $n\in \IN$ [/mm] ein,ohne welche die Aussage falsch waere.
> k [mm] \le [/mm] r [mm] \leftrightarrow k \le \floor[r][/mm].
>
> Setze ich nun [/mm] [mm]k = \floor[r][/mm] erhalte ich die Ungleichung
> [mm]\floor[r] \le \floor[ \frac{\floor[rn]}{n}][/mm].
>
> (2) Ich betrachte nun
> [mm]k \ge \floor[\frac{\floor[rn]}{n}] \leftrightarrow ...[/mm] und
Mit umgekehrter Relation ist die Aequivalenz (1) aber nicht richtig: Z.B. $k=0$ und $x= [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Ueberlege Dir, dass der erste Teil schon genuegt (vielleicht durch Widerspruch).
> erhalte hierbei letztlich für k = [r] die Ungleichung:
> [mm]\floor[r] \ge \floor[\frac{\floor[rn]}{n}][/mm].
>
>
> Aus (1) und (2) erhalte ich dann das Gewünschte.
>
> Lg, K.
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Hallo - also dass der erste Teil schon genügt, hat mich ein wenig verblüfft. Aber ein paar Beispiele lohnen sich ja immer.
Fehlt noch ein Beweis des Ganzen. Du schlägst einen Widerspruchsbeweis vor.
D.h. ich nehme einmal an, dass
$ [r] < [ [mm] \frac{[rn]}{n}] [/mm] $ gilt.
Das ist gleichbedeutend mit
$ [r]< [mm] \frac{[rn]}{n} \leftrightarrow [r]*n < [rn] $ was aber wiederum richtig ist.
Also mache ich natürlich mal wieder etwas sehr falsch :-/
Also habe ich
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 So 09.03.2014 | | Autor: | hippias |
Du hast doch die Aequivalenz [mm] $k\leq [\frac{[nr]}{n}]\iff k\leq [/mm] [r]$. Waere nun $[r]< [mm] [\frac{[nr]}{n}]$, [/mm] so haettest Du auch [mm] $[r]+1\leq [\frac{[nr]}{n}]$. [/mm] Das ist wegen der Aequivalenz aber ausgeschlossen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 09.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie für [mm]n\ in \mathbb{N}, r \in \mathbb{R}[/mm], dass
> gilt:
>
> [mm]\floor[\frac{\floor[rn]}{n}] = \floor[r][/mm]
Das kann man auch direkt beweisen, und zwar wie folgt: schreibe $r = i + q$ mit $i [mm] \in \IZ$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] q < 1$. Dann ist $[r n] = i n + [q n]$, und somit $[r n]/n = i + [q n]/n$. Jetzt schau dir $[q n]/n$ an: wie gross kann das werden?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie für [mm]n\ in \mathbb{N}, r \in \mathbb{R}[/mm], dass
> gilt:
>
> [mm]\floor[\frac{\floor[rn]}{n}] = \floor[r][/mm]
machen wir es mal anders:
Es gilt
$[r]*n [mm] \le [r*n]\,,$
[/mm]
denn es ist
[mm] $\IZ \ni [/mm] [r] [mm] \le [/mm] r$
und daher
$[r]*n [mm] \le r*n\,.$
[/mm]
Wegen $[r]*n [mm] \in \IZ$ [/mm] folgt
[mm] $\underbrace{[r]*n}_{=[[r]*n]} \le [r*n]\,,$
[/mm]
somit schließlich
$[r]=([r]*n)/n [mm] \le [/mm] [r*n]/n$
Dies liefert wegen Monotonie von [mm] $[\cdot]$
[/mm]
$ r [mm] \le [[r*n]/n]\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $[r]=[[r]]\,$ [/mm] (trivial wegen $[r] [mm] \in \IZ$)
[/mm]
folgt
$[r] [mm] \le [[r*n]/n]\,.$
[/mm]
Weiterhin:
Aus
$[[r*n]/n] [mm] \le [/mm] [r*n]/n [mm] \le [/mm] r*n/n=r$
folgt wegen $[[r*n]/n] [mm] \in \IZ$ [/mm] sodann
$[[r*n]/n] [mm] \le [r]\,.$
[/mm]
Insgesamt
$[r] [mm] \le [/mm] [[r*n]/n] [mm] \le [/mm] [r]$
und damit die Behauptung!
Gruß,
Marcel
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