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Gleichung lösen (e-Funktion): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Sa 06.06.2015
Autor: MissParker

Aufgabe
Löse folgende Gleichung:
[mm] exp(y^2)-8y^2=0 [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe leider noch keinen richtigen Ansatz gefunden, wie man diese Gleichung lösen kann.

Meine Idee war folgende:
[mm] exp(y^2)-8y^2 [/mm] = 0
[mm] exp(y^2) [/mm] = [mm] 8y^2 [/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] ln(8y^2) [/mm]
[mm] y^2 [/mm] = ln(8) + [mm] ln(y^2) [/mm]
[mm] y^2 [/mm] = ln(8) + 2 * ln(y)

Ist mein Ansatz richtig? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter machen muss?

        
Bezug
Gleichung lösen (e-Funktion): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:11 So 07.06.2015
Autor: reverend

Hallo MissParker,

bitte gib doch mal an, woher diese Aufgabe stammt.

edit: Fred hat Recht, das folgende ist falsch.
Ich habe Deine richtige Umformung falsch bei Wolfram eingegeben. Offenbar eine Störung des Kurzzeitgedächtnisses...
:(

> Löse folgende Gleichung:
>  [mm]exp(y^2)-8y^2=0[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> ich habe leider noch keinen richtigen Ansatz gefunden, wie
> man diese Gleichung lösen kann.
>
> Meine Idee war folgende:
>  [mm]exp(y^2)-8y^2[/mm] = 0
>  [mm]exp(y^2)[/mm] = [mm]8y^2[/mm]
>  [mm]y^2[/mm] = [mm]ln(8y^2)[/mm]
>  [mm]y^2[/mm] = ln(8) + [mm]ln(y^2)[/mm]
>  [mm]y^2[/mm] = ln(8) + 2 * ln(y)

Soweit ok.

> Ist mein Ansatz richtig? Kann mir jemand einen Tipp geben,
> wie ich weiter machen muss?

Es gibt keine analytische Lösung, sondern nur numerische Lösungsverfahren.

Außerdem gibt es keine reelle Lösung, schau mal []hier.

Dafür gibt es vier []komplexe Lösungen.

Mit anderen Worten: das ist keine Schulmathematik.

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen (e-Funktion): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Mo 08.06.2015
Autor: fred97

reverend hat sich geirrt: es geht nicht um die Gleichung

[mm] e^{8y^2}-y^2=0, [/mm]

sondern um


(*) $ [mm] e^{y^2}-8y^2=0 [/mm] $.

(*) lääst sich nicht "von Hand" nach y aulösen. Man kann aber zeigen, dass (*) genau 4 reelle Lösungen hat:

Füt t [mm] \ge [/mm] 0 setzen wir [mm] f(t)=e^t-8t. [/mm] Man sieht leicht:

  f ist im Intervall [0,ln(8)] streng monoton fallen, im Intervall [ln(8), [mm] \infty) [/mm] streng monoton wachsend, f(0)=1>0, f(ln(8))<0 und f(t) [mm] \to \infty [/mm] für t [mm] \to \infty. [/mm]

Damit hat f genau 2 Nullstellen:

    [mm] t_1 \in [/mm] (0,ln(8)  und [mm] t_2 \in [/mm] (ln(8), [mm] \infty). [/mm]

Die Lösungen von (*) sind also

   [mm] \pm \wurzel{t_1} [/mm]  und  [mm] \pm \wurzel{t_2}. [/mm]

FRED

Bezug
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