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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Gleichung lösen
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Gleichung lösen: Nullstellenformel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:04 Do 10.03.2005
Autor: jessieonline

Hallo,

ich soll folgende Gleichung lösen:

(x+4) (x-5) = 0

x²-5x+4x-20=0 /+20

x²-5x+4x=20

x²-1x=20

Nun ist mir schon klar, dass ich die Nullstellenformel für die quadratische Funktion verwenden muss. Nur gibt es im Tafelwerk ja einmal die Formel für die "Allgemeine Form" und  die Formel für die "Normalform" und ich weiß einfach nie welche Formel ich nutzen muss :-(( Woran erkenne ich das denn allgemein immer genau? Danke!

        
Bezug
Gleichung lösen: Nullstellenformel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Do 10.03.2005
Autor: payon

Hi Jessie,
Du kannst die Gleichung auch viel leicher lösen. Denn ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Somit sind hier hier die Faktoren jeweils der Inhalt der Klammern.
Du kannst also hier die beiden Klammern x+4=0 sowie x-5=0 nach x lösen, und du hast die zwei Lösungen.
Dies ist einfacher, da du somit keine Nullstellenformel braucht.

Ansonsten kannst du es natürlich auch mit der Nullstellenformel lösen. Kannst du denn vielleicht mal schreiben, wie die Normalform bzw. allgemeine Form lauten? Dann könnt ich sie dir auch bestimmt erklären.

gruss

martin
Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Do 10.03.2005
Autor: informix

Hallo Jessie,
> Hallo,
>  
> ich soll folgende Gleichung lösen:
>  
> (x+4) (x-5) = 0
>  
> x²-5x+4x-20=0 /+20
>  
> x²-5x+4x=20
>  
> x²-1x=20
>  
> Nun ist mir schon klar, dass ich die Nullstellenformel für
> die quadratische Funktion verwenden muss. Nur gibt es im
> Tafelwerk ja einmal die Formel für die "Allgemeine Form"
> und  die Formel für die "Normalform" und ich weiß einfach
> nie welche Formel ich nutzen muss :-(( Woran erkenne ich
> das denn allgemein immer genau? Danke!

[guckstduhier] MBPQFormel in der MBMatheBank.

Wie payon schon schrieb, kann du in der ersten Form die Nullstellen sofort ablesen.
Deine weiteren Umformungen sind daher nicht nötig.

allgemein gilt:
wenn eine (quadratische) Gleichung die Form hat [mm] $x^2+px+q=0$, [/mm]
dann kannst du sie stets mit der PQFormel versuchen zu lösen.

Oder den MBSatz von Vieta anwenden. Mit ein wenig Übung geht das blitzschnell!

Ist der Faktor vor dem [mm] x^2 [/mm] ungleich 1, also: [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] mit $a [mm] \ne [/mm] 1$,
dann verwendest du die MBABCFormel, manche nennen sie auch "Mitternachtsformel" oder allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Jetzt klar(er)?

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Gleichung lösen: PQ oder ABC?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Mo 14.03.2005
Autor: jessieonline

Genau da liegt das Problem, wann muss ich allgemein die PQ und wann die ABC-Formel nehmen? Leider kann man in Informix Antwort die Formeln nicht lesen :-(

Die Lösung für die Gleichung oben übrigens 1 und -5?? Danke!
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Gleichung lösen: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Mo 14.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Jessie!


So wie die Namen der beiden Formeln lauten, so kannst Du sie auch einsetzen.


Für die Form (sog. Allgemeine Form) [mm] $\red{a}*x^2 [/mm] + [mm] \green{b}*x [/mm] + [mm] \blue{c} [/mm] \ = \ 0$ bietet sich die MBABCFormel an:
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\green{b} \ \pm \ \wurzel{\green{b}^2 - 4*\red{a}*\blue{c}}}{2*\red{a}}$ [/mm]



Für die Normalform [mm] $\red{1}*x^2 [/mm] + [mm] \green{p}*x [/mm] + [mm] \blue{q} [/mm] \ = \ 0$ kannst du die MBPQFormel verwenden.

Die Normalform erkennst Du daran, daß vor dem quadratischen Glied der Faktor [mm] $\red{1}$ [/mm] steht.

[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{\green{p}}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{\green{p}}{2}\right)^2 - \blue{q}}$ [/mm]


[aufgemerkt] Du brauchst Dir auch nur eine der beiden Formeln zu merken, da Du ja aus der allgemeinen Form sehr schnell in die Normalform umstellen kannst:

[mm] $a*x^2 [/mm] + b*x + c \ = \ 0$    $| \ : a \ [mm] \not= [/mm] \ 0$

[mm] $1*x^2 [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{b}{a}}_{= \ p} [/mm]  * x + [mm] \underbrace{\bruch{c}{a}}_{= \ q} [/mm] \ = \ 0$

[mm] $1*x^2 [/mm] + p*x + q \ = \ 0$


Ich persönlich arbeite fast ausschließlich mit der MBPQFormel !!


Ich hoffe, ich konnte Dir etwas weiterhelfen ...

Gruß
Loddar

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