Gleichung lösen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 08.02.2005 | | Autor: | t5ope |
Hallo,
stimmt meine Lösung der Gleichung ?
[mm](ln(x))^2=ln(ax) [/mm] ||e
[mm] x^2 = ax [/mm]
[mm]x^2-ax=0 [/mm]
[mm]x(x-a)=0 [/mm]
[mm]x=0 \vee x=a [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo t5ope!
Deine eigenen Ergebnisse kannst du ja überprüfen, indem Du diese in die Ausgangsgleichung einsetzt.
Um Bastiane's Weg fortzusetzen:
[mm] $[ln(x)]^2 [/mm] - ln(x) - ln(a) \ = \ 0$
Wenn Du nun substituierst: $z \ := \ ln(x)$, erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der  PQFormel lösen kannst.
[mm] $z^2 [/mm] - z - ln(a) \ = \ 0$
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 08.02.2005 | | Autor: | t5ope |
Hallo, danke für eure Antworten:
Der Bezug ist, das ich das a bestimmmen soll für welches gilt: der Graf von [mm]f(x)=(ln(x))^2[/mm] und ein Graph aus der Funktionenschar [mm] g_a(x)=ln(ax)[/mm] mit a>0 sich berühren
Ich hab mir überlegt, wenn sich zwei Graphen berühren dann gilt:
[mm]f(x)=g(x)[/mm]
[mm]f '(x)=g'(x)[/mm]
Aber wie ihr seht, bin ich schon bei der ersten Bedingung gescheitert.
Gibt es hier andere Lösungsmöglichkeiten, Loddars Substitution verstehe ich nicht ganz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo, danke für eure Antworten:
> Der Bezug ist, das ich das a bestimmmen soll für welches
> gilt: der Graf von [mm]f(x)=(ln(x))^2[/mm] und ein Graph aus der
> Funktionenschar [mm]g_a(x)=ln(ax)[/mm] mit a>0 sich berühren
>
>
> Ich hab mir überlegt, wenn sich zwei Graphen berühren dann
> gilt:
> [mm]f(x)=g(x)[/mm]
> [mm]f '(x)=g'(x)[/mm]
>
> Aber wie ihr seht, bin ich schon bei der ersten Bedingung
> gescheitert.
Warum hast du nicht beide Gleichungen aufgeschrieben! Die zweite ist viel leichter zu lösen, denn
[mm] $f'(x)=2\ln(x)\frac [/mm] 1x$ und [mm] $g'(x)=\frac [/mm] 1x$.
Aus $f'(x)=g'(x)$ ergibt sich [mm] $2\ln(x)\frac 1x=\frac [/mm] 1x$ und daraus [mm] $x=\sqrt [/mm] e$, das kannst du in die erste Gleichung einsetzen und $a$ bestimmen.
Uebrigens bedeutet die Lösung, dass sich die beiden Kurven bei [mm] $x=\sqrt [/mm] e$ berühren.
mfG Moudi
> Gibt es hier andere Lösungsmöglichkeiten, Loddars
> Substitution verstehe ich nicht ganz
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 08.02.2005 | | Autor: | t5ope |
Danke Moudi, so ist es dann kein problem mehr.
Manchmal hab ich wirklich ein Brett vorm Kopf :D
Lösung ist [mm] a=e^ \bruch{-1}{4}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo t5ope!
> Lösung ist [mm]a=e^ \bruch{-1}{4}[/mm]
Korrekt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Um aber nochmal zu Loddars Gleichung zurückzukommen:
[mm] $[\ln(x)]^2-\ln(x)-\ln(a)=0$
[/mm]
[mm] $\stackrel{z:=\ln(x)}{\Longleftrightarrow}$ [/mm]
[mm] $z^2-z-\ln(a)=0$.
[/mm]
Die PQFormel liefert:
[mm]z_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\wurzel{\frac{1}{4}+\ln(a)}[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]z_{1,2}=\frac{1}{2}\left(1\pm\wurzel{1+\ln(a^4)}\right)[/mm]
D.h., (reelle) Schnittstellen von $f$ und [mm] $g_a$ [/mm] existieren genau dann, wenn [mm]1+\ln(a^4) \ge 0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\ln(a^4)\ge [/mm] -1$
[mm] $\stackrel{da\;\exp\;(bzw.\;\ln)\;streng\;monoton\;wachsend}{\Longleftrightarrow}$
[/mm]
[mm] $a^4 \ge e^{-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $a\ge e^{-\frac{1}{4}}$.
[/mm]
Weiter sind für $a [mm] \ge e^{-\frac{1}{4}}$ [/mm] bel., aber fest, die Schnittstellen zwischen $f$ und [mm] $g_a$ [/mm] wegen [mm] $(\star)$ [/mm] gegeben durch (beachte: Rücksubstitution: [mm] $z_i=\ln(x_i)$; [/mm] $i=1,2$):
[mm] $\ln(x_1)=\frac{1}{2}\left(1+\wurzel{1+\ln(a^4)}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_1=\wurzel{\exp\left(1+\wurzel{1+\ln(a^4)}\right)}$ [/mm]
sowie
[mm] $\ln(x_2)=\frac{1}{2}\left(1-\wurzel{1+\ln(a^4)}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_2=\wurzel{\exp\left(1-\wurzel{1+\ln(a^4)}\right)}$
[/mm]
[mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind die Schnittstellen von $f$ und [mm] $g_a$ [/mm] (d.h. die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$), wobei [m]a \ge e^{-\frac{1}{4}}[/m] beliebig, aber fest, sei.
PS: Du siehst auch:
Im Falle [mm] $a=e^{-\frac{1}{4}}$ [/mm] gilt:
[mm]x_1=\wurzel{\exp\left(1+\wurzel{1+\ln\left(\left(e^{-\frac{1}{4}}\right)^{4}\right)}\right)}
=\wurzel{\exp\left(1+\wurzel{1+\ln(e^{-1})}\right)}
=\wurzel{\exp\left(1+\wurzel{1-1}\right)}=\wurzel{e}[/mm]
und eine analoge Rechnung zeigt dann (im Falle [mm] $a=e^{-\frac{1}{4}}$) [/mm] auch:
[mm] $x_2=x_1=\wurzel{e}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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