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Hallo!
Ich habe folgende Gleichung zu lösen:
[mm] x^3-x^2- \bruch{8}{x^3-x^2} [/mm] = 2
Im ersten Schritt habe ich mit dem Nenner multiplizeirt und erhalte dann:
[mm] x^6-2x^5+x^4-2x^3+2x^2-8 [/mm] = 0
Nun habe ich davon dei Nullstelle gesucht, ist 2.
Nach Polynomdivision erhalte ich dann:
[mm] x^5+x^3+2x+4
[/mm]
Auch davon habe ich die Nullstelle gesucht, ist -1.
Nach Polynomdivision erhalte ich hier:
[mm] x^4-x^3+2x^2-2x+4
[/mm]
Hier habe ich ewig lange nach einer Nullstelle gesucht, jedoch keine gefunden.
Also habe ich in den Lösungen einmal nachgeschaut.
Dort kam als Lösong 2 und -1 raus. Also genau meine bisherigen Nullstellen.
ABER: Warum ist das denn schon die gesamte Lösung?
Ich müsste doch eigentlich noch zweimal Polynomdivision durchführen um eine quadratische Gleichung zu bekommen und dann noch die pq Formel anwenden, sprich eiegtnlich müsste es doch 4 weitere Lösungen geben!
Kann mir das jemand erklären????????????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mi 07.06.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tach!
> Ich habe folgende Gleichung zu lösen:
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> [mm]x^3-x^2- \bruch{8}{x^3-x^2}[/mm] = 2
Vielleicht hätte man hier auch mit der Substitution [mm] x^3-x^2 [/mm] = z etwas werden können?
> Im ersten Schritt habe ich mit dem Nenner multiplizeirt und
> erhalte dann:
> [mm]x^6-2x^5+x^4-2x^3+2x^2-8[/mm] = 0
>
> Nun habe ich davon dei Nullstelle gesucht, ist 2.
>
> Nach Polynomdivision erhalte ich dann:
>
> [mm]x^5+x^3+2x+4[/mm]
>
> Auch davon habe ich die Nullstelle gesucht, ist -1.
> Nach Polynomdivision erhalte ich hier:
>
> [mm]x^4-x^3+2x^2-2x+4[/mm]
>
> Hier habe ich ewig lange nach einer Nullstelle gesucht,
> jedoch keine gefunden.
> Also habe ich in den Lösungen einmal nachgeschaut.
Das ist ja praktisch!
> Dort kam als Lösong 2 und -1 raus. Also genau meine
> bisherigen Nullstellen.
>
> ABER: Warum ist das denn schon die gesamte Lösung?
> Ich müsste doch eigentlich noch zweimal Polynomdivision
> durchführen um eine quadratische Gleichung zu bekommen und
> dann noch die pq Formel anwenden, sprich eiegtnlich müsste
> es doch 4 weitere Lösungen geben!
Kannst du dir den Graphen des letzten Polynoms (4. Grades) vorstellen, zumindest wie er im Großen verläuft? Er kommt von links oben und verschwindet rechts oben. Wenn er dabei immer oberhalb der x-Achse bleibt, gibt es keine weitere (reelle) Nullstelle. Das andere Extrem ist, daß er die x-Achse zweimal von oben nach unten schneidet und zweimal von unten nach oben, das hättest du gern gehabt.
>
> Kann mir das jemand erklären????????????
Eine entsprechende Situation haben wir bei y = [mm] x^{4} [/mm] + 1, da sieht man es sofort.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo rotespinne!
Eine Polynomgleichung 6. Grades (wie sie in Deinem Beispiel vorliegt) hat in der Menge [mm] $\IR$ [/mm] auch maximal 6 Lösungen. Es müssen also nicht immer zwangsläufig genau 6 reelle Lösungen existieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Und woher weiß ich dann, wenn ich eine Gleichung löse, dass ich nun alle Lösungen habe und nicht irgendwie eine vergessen bzw. eine zuviel habe?
Ist es denn richtig dass es zu meiner letzten Gleichung ( 4. Grades ) keine Nullstelle gibt???
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Hi, rotespinne,
> Und woher weiß ich dann, wenn ich eine Gleichung löse, dass
> ich nun alle Lösungen habe und nicht irgendwie eine
> vergessen bzw. eine zuviel habe?
>
> Ist es denn richtig dass es zu meiner letzten Gleichung (4. Grades )
> keine Nullstelle gibt???
Das könntest Du nur indirekt beweisen. Wenn man den Term
[mm] x^{4} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] - 2x + 4
als Funktionsterm auffasst und die zugehörige Funktion in Hinblick auf Extrempunkte untersucht, erkennt man:
Es gibt nur einen Tiefpunkt und der liegt OBERHALB der x-Achse.
Daher kann's keine Nullstelle geben.
Andererseits ist das bei Deiner Aufgabe kaum so gemeint.
Ich hätte sie ganz anders gelöst:
Substitution z = [mm] x^{3}-x^{2} [/mm] führt zur Gleichung:
z - [mm] \bruch{8}{z} [/mm] = 2,
woraus Du die quadratische Gleichung
[mm] z^{2} [/mm] - 2z - 8 = 0 erhältst.
Diese hat die Lösungen [mm] z_{1} [/mm] = 4 und [mm] z_{2} [/mm] = -2
Somit kriegst Du zwei Gleichungen dritten Grades, die relativ schnell zu lösen sind:
[mm] x^{3}-x^{2}-4=0
[/mm]
und
[mm] x^{3}-x^{2}+2=0
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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