Gleichung lösen-Betragsstriche < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Betragsgleichung.
|x|+|3-2x|=3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
meine Frage ist, was es mit den Betragsstrichen auf sich hat. Habe im Internet schon gesucht, aber leider keine guten Beispielaufgaben gefunden.
Hoffentlich kann mir jemand dies erklären und die Lösungswege bzw vorgehensweise erläutern.
Danke.
Die Lösung habe ich mir angeschaut. Es soll
x= 0 und x = 2 rauskommen.
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Hallo Crash123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden
> Betragsgleichung.
>
> |x|+|3-2x|=3
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo zusammen,
> meine Frage ist, was es mit den Betragsstrichen auf sich
> hat. Habe im Internet schon gesucht, aber leider keine
> guten Beispielaufgaben gefunden.
>
Jeder Betrag liefert 2 Fälle.
Der 1. Betrag liefert:
i) [mm] x \ge 0: \vmat{x}=x[/mm]
ii) [mm] x < 0: \vmat{x}=-x[/mm]
Der 2. Betrag liefert:
iii) [mm]3-2x \ge0: \vmat{3-2x}=3-2x [/mm]
iv) [mm]3-2x <0: \vmat{3-2x}=-\left(3-2x\right) [/mm]
Daraus ergeben sich dann 4 Fälle,
die zu untersuchen sind:
1) [mm] x \ge 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
2) [mm] x \ge 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
3) [mm] x < 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
4) [mm] x < 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
D.h. das was unter i)-iv) steht setzt Du je nach Fall ein,
und bestimmst die Lösungsmenge.
Für Fall 1) ist demnach einzusetzen:
[mm]\vmat{x}=x, \ \vmat{3-2x}=3-2x[/mm]
> Hoffentlich kann mir jemand dies erklären und die
> Lösungswege bzw vorgehensweise erläutern.
>
> Danke.
>
> Die Lösung habe ich mir angeschaut. Es soll
> x= 0 und x = 2 rauskommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
Danke für die Antwort. Ich habe mal versucht dem Nachzuvollziehen.
Als vier Fälle bzw. gleichungen habe ich dann.
1. x+3-2x = 3
1. x= 0
2. x-(3-2x) = 3
2. x = 2
3. -x+3-2x = 3
3. x = 0
4. -x-(3-2x) = 3
4. x = 6
Abgesehen von dem 4 Fall würde es ja passen. Aber ich befürchte, dass ich noch etwas nicht verstanden habe. Könnte dazu nocheinmal jemand stellung nehmen?
MfG
Danke
PS: Wie gesagt, die Lösung soll x = 0 und x = 2 sein.
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Hallo, beachte unbedingt auch Deine Voraussetzungen,
3. Fall:
x<0 und
[mm] 3-2x\ge0 [/mm]
heißt doch
x<0 und
[mm] x\le1,5
[/mm]
daraus folgt also x<0, jetzt bekommst du x=0, was der Voraussetzung widerspricht
4. Fall:
x<0 und
3-2x<=
heißt doch
x<0 und
x>1,5
hier erübrigt sich jede weitere Überlegung
es ergeben sich also nur die Lösungen aus Fällen 1 und 2, betrachte immer Deine gemachten Voraussetzungen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 11.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
Sorry, ich muss vielleicht erwähnen, dass ich trotz Fachabitur noch nie eine solche Aufgabe vor mir hatte und somit nicht weiß wie die herangehensweise ist.
Ich weiß leider auch nicht wie ich solche Vorraussetzungen ermitteln kann.
Weiß jemand vielleicht, wo solche Aufgaben erklärt sind?
Ich weiß gerade zum Beispiel garnicht wo die 1,5 herkommt ?
Also ich wäre demjenigen, der diese Aufgabe einfach mal kleinstgenau aufschreiben kann, oder mir einen Hinweis geben kann, sehr Dankbar.
MfG
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:18 Do 11.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast |x|+|3-2x|=3
wissen muss man: |a|=a wenn [mm] a\ge0
[/mm]
|a|=-a wenn [mm] a\le0
[/mm]
um die Gleichung zu lösen musst du die Beträge
auflösen
a) beide ausdrücke sind positiv also
x>0 und 3-2x>0 also 2x<3, x<1.5 d.h. x liegt zwischen 0 und 1.5 [mm] 0\lex\le1.5
[/mm]
dann ist die Gleichung x+3-2x=3; -x=0 x=0 das liegt gerade noch in den Grenzen
b)x>0 3-2x<0 also 2x>3 x>1.5 und |x|=x |3-2x|= -3+2xzusammen also [mm] x\ge1.5 [/mm] und die Gleichung ist also x-3+2x=3 ; 3x=6; x=2 stimmt mit der vors x>1.5 überein ist also ne Lösung (am anfang immer zur probe in die urspr. gl. einsetzen also |2|+|3-4|=2+1=3 stimmt!
c) x<0 3-2x>0 x<1.5 also insgesamt [mm] x\le0
[/mm]
deine Gl -x+3-2x=3 -3x=0 x=0 stimmt mit vors, Probe selbst
d) x<0 und 3-2x<0 also x>1.5 geht nicht beides, also ist der fall ausgeschlossen.
Jetzt nimm dir bitte ne andere Ungleichung vor und mach dieselben Schritte hier vor, dann hast dus für immer kapiert!
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Do 11.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
Langsam wird es peinlich.
Es tut mir leid, aber ich habs immer noch nicht verstanden, mir fehlt der komplette Ansatz.
Ich versuch die Aufgabe schon seit Stunden zu lösen, aber ich komme einfach nicht hinter das Prinzip.
Ich werde total verwirrt wenn ich den Beitrag lese. :(
Das wird mir langam echt unangenehm, aber ich brauche wirklich eine Step-by-Step beschreibung.
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Hallo Crash123,
> Langsam wird es peinlich.
> Es tut mir leid, aber ich habs immer noch nicht
> verstanden,
Was genau hast du nicht verstanden?
> mir fehlt der komplette Ansatz.
Wie kann das sein? Du hast mehrere gute Antworten mit kleinschrittigen Anleitungen bekommen und du sagst, es fehlt dir jeglicher Ansatz?
Reichlich unverschämt, findest du nicht auch?
Fertige Lösungen servieren wir hier nicht. Das ist nicht im Sinne des Forums!
Wenn dir etwas unklar ist oder du an einer Stelle einer Antwort hängst, frage konkret nach, aber nicht so eine Allgemeinfloskel hinknallen ...
> Ich versuch die Aufgabe schon seit Stunden zu lösen, aber
> ich komme einfach nicht hinter das Prinzip.
Du musst die Beträge auflösen! Da kommst du um Fallunterscheidungen nicht herum.
>
> Ich werde total verwirrt wenn ich den Beitrag lese. :(
WAS verwirrt dich?
Spezifiziere doch mal, was du meinst?!
> Das wird mir langam echt unangenehm, aber ich brauche
> wirklich eine Step-by-Step beschreibung.
Die hast du bekommen!
Wie gesagt, man kann dir nur helfen, wenn du uns verrätst, was genau und ganz konkret du an einer der Antworten nicht verstehst.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:18 Do 11.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
> Hallo
> du hast |x|+|3-2x|=3
> wissen muss man: |a|=a wenn [mm]a\ge0[/mm]
> |a|=-a wenn [mm]a\le0[/mm]
> um die Gleichung zu lösen musst du die Beträge
> auflösen
> a) beide ausdrücke sind positiv also
Wieso sind beide Ausdrücke positiv?
x = positiv
-x = negativ
3-2x = ?
> x>0 und 3-2x>0 also 2x<3, x<1.5 d.h. x liegt zwischen 0
> und 1.5 [mm]0\lex\le1.5[/mm]
> dann ist die Gleichung x+3-2x=3; -x=0 x=0 das liegt gerade
> noch in den Grenzen
-x=0 x=0 liegt noch in den Grenzen. Was für Grenzen?
> b)x>0 3-2x<0 also 2x>3 x>1.5 und |x|=x |3-2x|=
> -3+2x zusammen also [mm]x\ge1.5[/mm] und die Gleichung ist also
> x-3+2x=3 ; 3x=6; x=2
Wieso wird aus |3-2x| jetzt -3+2x?
>stimmt mit der vors x>1.5 überein
Was stimmt überein? Anscheinend muss ich hier öfters Werte miteinander vergleichen. Welche?
> ist also ne Lösung (am anfang immer zur probe in die
> urspr. gl. einsetzen also |2|+|3-4|=2+1=3 stimmt!
> c) x<0 3-2x>0 x<1.5 also insgesamt [mm]x\le0[/mm]
> deine Gl -x+3-2x=3 -3x=0 x=0 stimmt mit vors, Probe
> selbst
> d) x<0 und 3-2x<0 also x>1.5 geht nicht beides, also ist
> der fall ausgeschlossen.
> Jetzt nimm dir bitte ne andere Ungleichung vor und mach
> dieselben Schritte hier vor, dann hast dus für immer
> kapiert!
> gruss leduart
Zu c und d habe ich jetzt mal nichts geschreiben, weil ich dort einfach nicht mehr weiß, was gerechnet wird.
Ich kann verstehen, wenn es unhöflich rüberkam, werde versuchen meine Fragen genau zu stellen.
Ebenso kann ich verstehen, dass gesagt wird, dass nicht einfach Lösungen geschreiben werden. Wenn ihr sehen würdet wieviele Blätter ich hier schon vollgeschreiben habe, mit verschiedenen Ansätzen, würdet ihr aber vielleicht verstehen, warum ich gerne einfach eine Aufgabe hätte die durchgerechnet ist. Dies ist nicht mit dem Ziel diese Aufgabe zu lösen, sondern mir ein besseres Verständis zu verschaffen!
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 11.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Besser, als in Abakus´Antwort von 20:32Uhr kann man dies Sache nicht erklären. Ich denke, damit dürften die Fragen geklärt sein.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 11.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
> > Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden
> > Betragsgleichung.
> > |x|+|3-2x|=3
> Jeder Betrag liefert 2 Fälle.
>
> Der 1. Betrag liefert:
>
> i) [mm]x \ge 0: \vmat{x}=x[/mm]
> ii) [mm]x < 0: \vmat{x}=-x[/mm]
>
> Der 2. Betrag liefert:
>
> iii) [mm]3-2x \ge0: \vmat{3-2x}=3-2x[/mm]
> iv) [mm]3-2x <0: \vmat{3-2x}=-\left(3-2x\right)[/mm]
>
> Daraus ergeben sich dann 4 Fälle,
> die zu untersuchen sind:
>
> 1) [mm]x \ge 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
>
> 2) [mm]x \ge 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
>
> 3) [mm]x < 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
>
> 4) [mm]x < 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
>
>
> D.h. das was unter i)-iv) steht setzt Du je nach Fall ein,
> und bestimmst die Lösungsmenge.
>
> Für Fall 1) ist demnach einzusetzen:
>
> [mm]\vmat{x}=x, \ \vmat{3-2x}=3-2x[/mm]
Hab nochmal hier neu angesetzt.
1. Fall
x+3-2x = 3
x=0
2. Fall
x-(3-2x) = 3
x=2
3. Fall
-x+3-2x=3
x=0
Frage: Dieser Fall wird nicht beachtet, weil "x<0" nicht erfüllt ist, da x=0. Richtig?
4. Fall
-x-(3-2x)=3
x=6
Frage: Dieser Fall wird nicht beachtet, weil "x<0" nicht erfüllt ist, da x=6. Richtig?
So, dies hatte ich ja schoneinmal geschreiben. Bei der Antwort wurde von "vorraussetzungen" gesprochen. Es geht um Vorraussetzungen, warum Fall 3 und 4 nicht "zu beachten" sind.
Danke
MfG
PS: Wie kann ich auf meine eigene Frage (diese hier) eine Antwort geben?
Ich glaube ich habe es jetzt Verstanden. Würde dies gerne irgendwo hinschreiben und dann von jemanden vom euch "bestätigen" lassen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Do 11.08.2011 | | Autor: | abakus |
> > > Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden
> > > Betragsgleichung.
> > > |x|+|3-2x|=3
>
> > Jeder Betrag liefert 2 Fälle.
> >
> > Der 1. Betrag liefert:
> >
> > i) [mm]x \ge 0: \vmat{x}=x[/mm]
> > ii) [mm]x < 0: \vmat{x}=-x[/mm]
> >
> > Der 2. Betrag liefert:
> >
> > iii) [mm]3-2x \ge0: \vmat{3-2x}=3-2x[/mm]
> > iv) [mm]3-2x <0: \vmat{3-2x}=-\left(3-2x\right)[/mm]
>
> >
> > Daraus ergeben sich dann 4 Fälle,
> > die zu untersuchen sind:
> >
> > 1) [mm]x \ge 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
> >
> > 2) [mm]x \ge 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
> >
> > 3) [mm]x < 0 \wedge 3-2x \ge 0[/mm]
> >
> > 4) [mm]x < 0 \wedge 3-2x < 0[/mm]
> >
> >
> > D.h. das was unter i)-iv) steht setzt Du je nach Fall ein,
> > und bestimmst die Lösungsmenge.
> >
> > Für Fall 1) ist demnach einzusetzen:
> >
> > [mm]\vmat{x}=x, \ \vmat{3-2x}=3-2x[/mm]
>
>
> Hab nochmal hier neu angesetzt.
>
> 1. Fall
> x+3-2x = 3
> x=0
>
> 2. Fall
> x-(3-2x) = 3
> x=2
>
> 3. Fall
> -x+3-2x=3
> x=0
> Frage: Dieser Fall wird nicht beachtet, weil "x<0" nicht
> erfüllt ist, da x=0. Richtig?
>
> 4. Fall
> -x-(3-2x)=3
> x=6
> Frage: Dieser Fall wird nicht beachtet, weil "x<0" nicht
> erfüllt ist, da x=6. Richtig?
>
> So, dies hatte ich ja schoneinmal geschreiben. Bei der
> Antwort wurde von "vorraussetzungen" gesprochen. Es geht um
> Vorraussetzungen, warum Fall 3 und 4 nicht "zu beachten"
> sind.
> Danke
>
> MfG
>
>
> PS: Wie kann ich auf meine eigene Frage (diese hier) eine
> Antwort geben?
>
> Ich glaube ich habe es jetzt Verstanden. Würde dies gerne
> irgendwo hinschreiben und dann von jemanden vom euch
> "bestätigen" lassen.
Hallo,
um die Gleichung |x|+|3-2x|=3 zu lösen, musst du zunächst die Betragsstriche loswerden. Manchmal ist das ganz einfach:
z.B. gilt |7|=7. Bei positiven Zahlen kann man die Betragsstriche einfach weglassen.
Nun weißt du sicher auch, dass |-7|=7 gilt. Bei negativen Zahlen kann man nicht einfach die Betragsstriche weglassen (es gilt schließlich NICHT
|-7|=-7).
Man lässt also bei negativen Zahlen die Betragsstriche weg UND schreibt von dem, was danach übrigbleibt (also von -7) die ENTGEGENGESETZTE Zahl (also die Zahl -(-7)=+7 ) auf.
Es ist also |-7|=-(-7)=7.
Bei den Zahlen 7 und -7 weiß man, ob sie positiv oder negativ sind.
Was ist aber mit einem Ausdruck wie 3-2x?
Es gibt x-Werte, für die dieser Ausdruck größer als Null ist, und es gibt x-Werte, für die dieser Ausdruck kleiner als Null ist.
Je nachdem, welcher dieser beiden Fälle vorliegt, ist
|3-2x| entweder gleich 3-2x, oder |3-2x| ist die entgegengesetzte Zahl zu 3-2x. Die entgegengesetzte Zahl zu 3-2x ist -(3-2x). Klar???
Den Ausdruck -(3-2x) kann man auch als -2+2x schreiben (Umformungsregeln für Klammern... Klar? )
Der Term |x|+|3-2x| enthält nun sogar zwei Beträge, von denen wir jeweils die Betragsstriche loswerden müssen.
Fall 1: Sowohl x als auch 3x-2 sind größer oder gleich 0.
Für welche x gelten gleichzeitig BEIDE Bedingungen?
Nun, es muss sowohl [mm] x\ge [/mm] 0 als auch [mm] x\le [/mm] 1,5 gelten.
Das ist nur für die Zahlen von 0 bis 1,5 erfüllt.
Falls also [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,5 gilt, kann man in beiden Beträgen die Striche einfach weglassen und die entstehende Gleichung
x+3-2x=3 lösen.
Diese führt auf x=0. Das ist allerdings nur dann eine Lösung, wenn dieser x-Wert in unserem HIER betrachteten Bereich [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,5 liegt.
Das ist der Fall (x=0 liegt gerade noch auf dem Rand des hier zutreffenden Bereichs.
Fall 2: x ist größer oder gleich 0, aber 3-2x ist kleiner als 0
Für welche x gelten gleichzeitig BEIDE Bedingungen?
Nun, es muss sowohl [mm] x\ge [/mm] 0 als auch x> 1,5 gelten.
Das ist diesmal NICHT für die Zahlen von 0 bis 1,5 erfüllt, denn x muss in diesem Fall mindestens 1,5 sein. Der zweite Fall tritt also nur ein, wenn
x > 1,5 gilt.
Bei |x| kann man nach wie vor einfach die Betragsstriche weglassen, aber 3-2x ist für so große x negativ, und es gilt hier |3-2x|=-(3-2x)=-3+2x.
Da in diesem 2. Fall also andere Voraussetzungen als im 1. Fall gelten, muss die Betragsgleichung hier auch anders umgeformt werden.
Es gilt HIER |x|+|3-2x|=x+(-3+2x)=3x-3.
Laut Ausgangsgleichung |x|+|3-2x|=3 gilt also 3x-3=3, daraus folgt x=2.
Kann das überhaupt Lösung sein????
Wir sind gerade dabei, eine Lösung zu berechnen, falls x>1,5 ist. Die Zahl 2 IST größer als 1,5 und kann somit eine Lösung für unseren Fall 2 sein.
Fall 3:
Was passiert, wenn x<0 und [mm] 3-2x\ge [/mm] 0 gilt?
Zunächst schauen wir genau hin, für welche x BEIDE Bedingungen gelten:
Aus [mm] 3-2x\ge [/mm] 0 folgt [mm] x\le [/mm] 1,5. Da nicht nur [mm] x\le [/mm] 1,5 , sondern auch die erste Bedingung x<0 gelten soll, betrachten wir in diesem Fall nur Zahlen x mit x<0.
Aus |x|+|3-2x|=3 wir hier -x+3-2x=3.
(Da ist x negativ ist, gilt |x|=-x).
Die Lösung von -x+3-2x=3 ist wiederum x=0.
Diese Lösung können wir aus zwei Gründen ignorieren:
1) haben wir diese Lösung schon im Fall 1) erhalten
2) haben wir HIER vorausgesetzt, dass x<0 sein muss. Wenn x KLEINER als Null vorausgesetzt wird, kann x GLEICH Null keine Lösung dieses Falles sein.
Fall 4:
Was passiert, wenn x<0 und 3-2x< 0 gilt?
Aus 3-2x<0 folgt durch Umformung 1,5<x bzw x>1,5.
Das ist aber ein völliger Widerspruch zur ersten Forderung, dass x kleiner als 0 (also negativ) sein soll!
Der Fall 4 kann also gar nicht eintreten, also brauchen wir die Betragsgleichung für diesen Fall gar nicht erst aufzulösen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Crash123 |
Perfekt! Danke!
Vielen Dank, dass ihr nicht aufgegeben habt, ich habs endlich verstanden. Das war echt eine super Erklärung!
Danke vielmals!
MfG =)
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