Gleichung der Asymptoten < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+1}
[/mm]
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an. |
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funkton f mit [mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4x+4}
[/mm]
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an |
Guten Abend an Alle,
laut dem Lösungsbuch kommt bei beiden Aufgaben die Gleichung y= 1 als waagerechte Asymptote raus.
Wie kriege ich das aber raus?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 13.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Klammere in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz aus (also hier jeweils [mm] $x^2$ [/mm] ) und kürze.
Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ok, ich schreibe mal meinen Lösungsweg auf.
1. Aufgabe: f(x)= [mm] \bruch{\bruch{-1}{x^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{x^{2}*-1}{x^{2}}. [/mm] Da kommt doch aber [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] f(x) = [mm] \bruch{-x^{2}}{x^{2}} [/mm] = -1 raus, oder nicht?
Zur 2. Aufgabe: f(x)= [mm] \bruch{\bruch{-1}{x^{2}}}{-\bruch{4}{x}+\bruch{4}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{-1*x*x^{2}}{-4+4*x^{2}} [/mm] Wie rechne ich weiter? Ich weiß jedenfalls nicht, wie man hier auf y=1 kommen soll! Ein kleiner Lösungsansatz wäre also hilfreich.
Bitte um Antwort
matherein
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Moin Matherein,
Du hast $\ f(x) = [mm] \frac{x^2-1}{x^2+1} [/mm] $
Wie Loddar bereits schrieb, gilt es $\ [mm] x^2 [/mm] $ in Zähler und Nenner auszuklammern...
$\ f(x) = [mm] \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} [/mm] $
Mit $\ x [mm] \to \infty [/mm] $ ist $\ [mm] \frac{1}{x^2} \to [/mm] 0 $
$\ [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} [/mm] = [mm] \frac{1-0}{1+0} [/mm] = 1 $
Für $\ [mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4x+4} [/mm] $ funktioniert das Ganze analog.
$\ f(x) = [mm] \bruch{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} [/mm] $
Und für $\ x [mm] \to \infty \Rightarrow [/mm] .... $
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Mi 14.10.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo ChopSuey,
danke vielmals. Mein Rechenfehler war also, dass ich [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}} [/mm] als 0 aufgeschrieben hatte und nicht als 1.
Gruß
matherein
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