Gleichung beweisen binomisc.. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | beweisen sie:
x= [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*\frac{k}{n}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
mit x [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] |
Hey 
so.. In der Vorlesung haben wir ja bereits bewiesen, dass :
[mm] \vektor{n \\ k}*\frac{k}{n}= \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
also muss ich nun beweisen, dass
x= [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich fortfahren soll. Ich könnte es ja mit dem binomischen Lehrsatz umwandeln. Allerdings müsste ich dazu doch [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] in die Form [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] bringen...
hier stehe ich leider am Schlauch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
Stinibini
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Hallo,
zieh einmal x vor die Summe und verwende ein Resultat aus einer deiner vorigen Aufgaben...
Gruß, Diophant
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Hey
also ich kann ja umformen zu:
x= [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}= \sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}= [/mm] x* [mm] \sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
jetzt könnte ich ja das Resultat der letzten Aufgabe verwenden und zwar,dass der letzte Faktor=1 ist. Aber darf ich dass? denn die Grenzen der Summe stimmen ja nicht überein. Es stimmt nur die Anzahl der Summanden
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 13.04.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey
> also ich kann ja umformen zu:
> x= [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}= \sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}=[/mm]
> x* [mm]\sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
Stimmt so nicht, weil du vergessen hast, den Exponenten von $(1-x)$ anzupassen.
> jetzt könnte ich ja das Resultat der letzten Aufgabe
> verwenden und zwar,dass der letzte Faktor=1 ist. Aber darf
> ich dass? denn die Grenzen der Summe stimmen ja nicht
> überein. Es stimmt nur die Anzahl der Summanden
Bedenke, dass der erste Summand Null ist, also
[mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k} = \sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
= \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:36 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo rainerS,
> Hallo!
>
> > Hey
> > also ich kann ja umformen zu:
> > x= [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}= \sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}=[/mm]
> > x* [mm]\sum_{k=-1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
>
> Stimmt so nicht, weil du vergessen hast, den Exponenten von
> [mm](1-x)[/mm] anzupassen.
>
> > jetzt könnte ich ja das Resultat der letzten Aufgabe
> > verwenden und zwar,dass der letzte Faktor=1 ist. Aber darf
> > ich dass? denn die Grenzen der Summe stimmen ja nicht
> > überein. Es stimmt nur die Anzahl der Summanden
>
> Bedenke, dass der erste Summand Null ist, also
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k} = \sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
= \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}[/mm]
>
Gerade so herum darf man es aber m.A. nach nicht machen, da der Summand für k=0 jetzt nicht mehr definiert ist.
Man muss zuerst diesen Summand elimnieren, indem man den Startindex auf k=1 setzt, dann das Produkt aus Binomialkoeffizient und dem Bruch k/n auswerten, und dann braucht es auch keine Indexverschiebung mehr, denn jetzt reicht n-k=(n-1)-(k-1) doch schon aus um zu sehen, dass wieder der binomische Lehrsatz dasteht.
Gruß, Diophant
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Hey
> [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k} = \sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
= \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}[/mm]
okay das verstehe ich. Aber das gleicht ja an dieser Stelle immer noch nicht dem binomischem Lehrsatz. Ich wüsste jetzt auch nicht wie ich diese Summer noch weiter umformen kann
@ Diophant. Was meinst du damit. Ich erhalte ja:
[mm] \sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
jetzt würde ich das x vor die Summe ziehen:
= x * [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
kann ich diese Summe jetzt mit dem binomischen Lehrsatz vergleichen und =1 setzten? Wenn ja, reicht es in diesem Falle immer wenn die Anzahl der Summanden übereinstimmt? denn die Grenzen passen ja nicht
LG
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Hallo,
mein Tipp war irreführend, sorry dafür. Im Prinzip hat rainerS dir doch die Lösung hingeschrieben, nur die Reihenfolge, wann was zu tun ist, die habe ich bemängelt. Denn so langd e da k=0 als Startindex steht, so lange ist eben der Binomialkoeffizient
[mm] \vektor{n-1\\k-1}
[/mm]
nicht definiert. Also muss man wie schon gesagt zuerst k=1 setzen und dann den Binomialkoeffizient mit dem Bruch zusammenfassen. Der Rest geht dann wie in Rainers Antwort.
Gruß, Diophant
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Hey
ich verstehe nur einfach nie wie ich hier weitermache, oder überhaupt wieso sich das n in der Summe nicht mitverschoben hat. Denn wir haben ja die Grenze von n zu n-1 verändert. da müsste sich doch eigentlich der Koeffizient in der Summe auch ändern oder?
[mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}
[/mm]
und ich verstehe auch nicht von welchen Bruch du redest leider :-(
LG
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Hallo,
das Problem ist, dass man deine Fragen nicht versteht. Du schmeißt wild mit Rechnungen und Text um dich, aber da steht keine sortierte Frage, durch die man sich durcharbeiten kann in dem Sinne, dass man Punkt für Punkt gemeinsam klärt.
> und ich verstehe auch nicht von welchen Bruch du redest
> leider :-(
Es kommt in der ganzen Aufgabe nur ein einziger Bruch vor, dass ist der Bruch k/n. Und deine Vorgehensweise war hier, zunächst
[mm] \vektor{n\\k}*\bruch{k}{n}=\vektor{n-1\\k-1}
[/mm]
zu setzen, was an sich natürlich richtig ist. Das Problem tritt in dem Moment auf, wenn der Term in einer Summe vorkommt, in welcher eben dieses k Summationsindex ist und den Wert Null annimmt. Dann ist dein schöner Binomialkoeffizient nicht mehr definiert, verstehst du das nicht? Dann sage mir einmal, wie du die Zahl (-1)! definieren würdest...
Zum Rest deiner Frage kann ich nichts sagen, weil ich wie gesagt nicht verstehe, was du eigentlich wissen möchtest. Wenn du die Antwort von Rainer genau anschauen würdest, müsstest du jedenfalls einsehen, dass dein Argument, es wäre kein vollständiges Binom, nicht haltbar ist.
Gruß, Diophant
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Hey
ich versuchs einfach nochmal in Ruhe
also:
ich verstehe nicht:
1. Wie kommt man von:
[mm] \sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
auf:
[mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}
[/mm]
denn wenn ich diese Grenzen verschieben erhalte ich:
[mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
2. [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}
[/mm]
wie kann ich diese Summe so umformen, dass ich sie mit x gleichsetzen kann?
Ich würde ja gerne deiner Idee folgen und x ausklammer, so dass ich:
x* [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-1-k}
[/mm]
erhalte. Allerdings ist der Wert der restlichen Summe ja in diesem Falle nicht =1, oder?
LG
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Hallo,
> Hey
> ich versuchs einfach nochmal in Ruhe
> also:
> ich verstehe nicht:
> 1. Wie kommt man von:
> [mm]\sum_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
> auf:
> [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}[/mm]
>
> denn wenn ich diese Grenzen verschieben erhalte ich:
> [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k}[/mm]
Nein, das ist wohl dein großer Denkfehler: die obere Zahl im Binomialkoeffizienten muss fest bleiben und insbesondere unabhängig von jedweder Indexverschiebung!
>
> 2. [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k+1}*(1-x)^{n-1-k}[/mm]
>
> wie kann ich diese Summe so umformen, dass ich sie mit x
> gleichsetzen kann?
> Ich würde ja gerne deiner Idee folgen und x ausklammer,
> so dass ich:
> x* [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-1-k}[/mm]
>
> erhalte. Allerdings ist der Wert der restlichen Summe ja in
> diesem Falle nicht =1, oder?
Doch, denn da steht jetzt im Prinzip
[mm] (x+1-x)^{n-1}=1^{n-1}=1
[/mm]
PS:
Viel mehr Eigeninitiative, gründlicheres Durcharbeiten von gegebenen Antworten sowie weniger und gezieltere Fragen, dann werden wirst du hier sicherlich auich effizientere Hilfe bekommen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Vorschlag:
nach dem binomischen Satz ist
(*) [mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}
[/mm]
Differenziere (*) nach a, multipliziere die resultierende Gleichung mit a und setze dann
a=x und b=1-x.
FRED
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