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| Aufgabe | Bestimmen Sie sämtliche reellen Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm](x-1)^2*(x+5) = 4(x+5)[/mm]
Lösungsmenge = [mm]\IL= {-5,-1,3}[/mm] |
Hallo :)
Ich habe mal eine Rückfrage zu der obigen Aufgabe. Ich habe die Gleichung gelöst, indem ich durch (x+5) geteilt habe (damit (x+5) auf der rechten und linken Seite wegfällt. Dann erhalte ich für x => -1 und 3. Muss man dann zwangsweise x+5=0 nochmal bestimmen? Sprich, wenn ich durch einen Term mit x dividiere, und dieser bei der Operation wegfällt, muss man diesen nochmals = 0 setzen? Weil nur dann erhalte ich die -5, die in der Lösungsmenge mit drin sein muss...
Danke schonmal :)
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> Bestimmen Sie sämtliche reellen Lösungen der folgenden
> Gleichung:
> [mm](x-1)^2*(x+5) = 4(x+5)[/mm]
>
> Lösungsmenge = [mm]\IL= {-5,-1,3}[/mm]
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> Hallo :)
> Ich habe mal eine Rückfrage zu der obigen Aufgabe. Ich
> habe die Gleichung gelöst, indem ich durch (x+5) geteilt
> habe (damit (x+5) auf der rechten und linken Seite
> wegfällt. Dann erhalte ich für x => -1 und 3. Muss man
> dann zwangsweise x+5=0 nochmal bestimmen? Sprich, wenn ich
> durch einen Term mit x dividiere, und dieser bei der
> Operation wegfällt, muss man diesen nochmals = 0 setzen?
> Weil nur dann erhalte ich die -5, die in der Lösungsmenge
> mit drin sein muss...
>
> Danke schonmal :)
>
Sieh dir deine Gleichung mal genau an [mm] (x-1)^2*(x+5) [/mm] = 4(x+5)
wenn du x=-5 setzt erhältst du [mm] (x-1)^2*0 [/mm] = 4*0
was 0=0 bedeutet ;)
LG Scherzkrapferl
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Ja, aber 0=0 ist doch eine wahre Aussage. Also müsste man das doch in der Lösungsmenge berücksichtigen, oder nicht? Bzw. wollte ich wissen, ob man jetzt allgemein sagen kann, das wenn man durch einen Term wie z.B. (x+5) teilt, und dieser dabei "wegfällt", ob man diesen dann nochmal extra = 0 setzen muss (bzw. anders gesagt, ich muss diesen in der Lösungsmenge brücksichtigen, löse ich (x+5) im Kopf nach x auf, erhalte ich -5).
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> Ja, aber 0=0 ist doch eine wahre Aussage. Also müsste man
> das doch in der Lösungsmenge berücksichtigen, oder nicht?
Ja eben !
> Bzw. wollte ich wissen, ob man jetzt allgemein sagen kann,
> das wenn man durch einen Term wie z.B. (x+5) teilt, und
> dieser dabei "wegfällt", ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Man darf eben nicht blindlings durch einen Term
dividieren - denn Division durch Null geht nicht !!
> ob man diesen dann nochmal extra
das ist eben kein "Extra", sondern man muss sich vor einer
derartigen Division überlegen, was los wäre, falls der Kürzungs-
term gleich 0 ist !
> = 0 setzen muss (bzw. anders gesagt, ich muss diesen in der
> Lösungsmenge brücksichtigen, löse ich (x+5) im Kopf nach
> x auf, erhalte ich -5).
Die Gleichung lautete
$ [mm] (x-1)^2*(x+5) [/mm] = 4*(x+5) $
Um den Lösungsweg wirklich klar zu machen, wäre es wohl
sinnvoll, zuerst 4*(x+5) zu subtrahieren, um alles auf die
linke Seite der Gleichung zu bringen:
$ [mm] (x-1)^2*(x+5) [/mm] - 4*(x+5)\ =\ 0 $
Jetzt kann man auf der linken Seite (x+5) ausklammern:
$ [mm] (x+5)*\left((x-1)^2 - 4\right)\ [/mm] =\ 0 $
So. Und nun wird ja bekanntlich ein Produkt genau dann
gleich 0, wenn einer seiner Faktoren gleich 0 ist.
Die Gleichung löst sich also auf in
$ (x+5)\ =\ [mm] 0\quad\vee\quad\left((x-1)^2 - 4\right)\ [/mm] =\ 0 $
Auch die zweite Gleichung kann man noch faktorisieren
(3. binom. Formel) und hat dann
$ x+5\ =\ [mm] 0\quad\vee\quad\left((x-1) - 2\right)\quad\vee\quad\left((x-1) + 2\right)\ [/mm] =\ 0 $
also
$ x+5\ =\ [mm] 0\quad\vee\quad [/mm] x-3\ =\ [mm] 0\quad\vee\quad [/mm] x+1\ =\ 0 $
d.h.
$ x\ =\ [mm] -5\quad\vee\quad [/mm] x\ =\ [mm] 3\quad\vee\quad [/mm] x\ =\ -1 $
LG Al-Chw.
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alles klar, das macht die Sache wesentlich verständlicher. Danke ;)
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