Gleichsetzung2er CosFunktionen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unter welchen Bedingungen gilt:
(1) c = s²a²+s²b²-2s²ab*cos ( [mm] \gamma [/mm] )
(2) c = x²a²+y²b²-2xyab*cos ( [mm] \gamma [/mm] ) |
Auf dem ersten Blick fiel mir sofort auf, wenn x=y=s gilt sind beide Gleichungen (1) und (2) gleich. Dies ist auch einfach zu zeigen.
Aber mein Problem liegt darin zu zeigen, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt.
Es wäre also nett wenn man mir beim Lösen des Problems weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Sa 24.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo dominik
Die Gleichung sieht nach einer Gleichung aus der Geometrie aus, wo c,a,b und [mm] \gamma [/mm] geometrische Größen sind. Nur dann macht die Frage einen Sinn!
denn sonst kannst du für [mm] s,a,b,\gamma [/mm] einsetzen was du willst und kriegst irgendein c raus.
Also was sind deine Größen c,a,b,s,x,y?
Und kontrollier auch noch ob bei c nicht auch ein Exponent steht!
Oder sollst du überprüfen, wann die beiden Gleichungen dasselbe c ergeben?
dann z. Bsp auch für a=b=0 oder [mm] \gamma [/mm] =90° und a=b und [mm] x^{2}+y^{2}=s^{2} [/mm] usw.
Was darf man in den Gleichungen ändern? alle Buchstaben oder nur x und y?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Sa 24.06.2006 | | Autor: | dominik88 |
Hallo leduart,
vielen herzlichen dank für deinen Beitrag.
Da habe ich wohl einige kleine Mängel beim Aufschreiben gehabt, wohl schon beim fußballspiel gewesen.
Natürlich muss es c² zu Beginn heißen, sonst wäre es ja keine Cosinusfunktion.
a b und [mm] \gamma [/mm] sind Größen die nicht verändert werden dürfen. Dabei sind a b und c die Seitenlängen, x y und s sind meineserachtens Vorfaktoren bei den Seitenlängen [mm] \not=0 [/mm] ( 0,5c bedeutet dass nur die Hälfte der Länge von c gemeint ist ). Die Aufgabe ist wann die beiden Gleichungen das selbe c als Ergebnis ergeben.
Somit können nur s x und y verändert werden
gruß dom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Sa 24.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm an [mm] $c^2=a^2+b^2$ [/mm] also ein rechtwinkliges Dreieck.
Dann vergrößere a und b mit dem Faktor s, behalte c gleich.
dann entsteht ein neues Dreieck mit [mm] \gamma<90° [/mm] (für s>1)
und es gilt$ [mm] c^2=(sa)^2+(sb)^2 -2sa*sb*cos\gamma$.
[/mm]
Nimm den Umkreis um dieses Dreieck. [mm] \gamma [/mm] ist der Sehnenwinkel zur Sehne c. alle Dreiecke über derselben Sehne in diesem Kreis haben denselben Winkel [mm] \gamma, [/mm] und deshalb gilt für sie auch, wenn ihre Längen x*a und y*b heissen [mm] $c^2=(xa)^2+(yb)^2-2*xa*yb*cos\gamma$.
[/mm]
Das gibt dir eine Beschreibung aller möglichen Wahlen von x und y bei gegebenem s. Umgekehrt natürlich auch ein s für gegebenes x und y, das ist aber schwerer zu konstruieren,
Zeichne es auf, und ich hoffe du kennst den Sehnenwinkelsatz!
Gruss leduart
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Gruss leduart,
nochmals vielen dank,
den Sehnenwinkelsatz kenne ich und deshalb verstehe ich auch diese Zeichnung. Nun habe ich aber noch eine Frage, gilt deine Beschreibung nur für den Fall s > 1 ?
Wie sieht würde es denn bei s < 1 aussehen?
gruß dom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dominik
Natürlich kannst du dasselbe Argument mit Sehnenwinkelsatz auch für s<1 verwenden. nur muss s*a+s*b >c sein. Aber wenn das nicht der Fall ist kann ja die erste Gleichung nicht richtig sein (kein dreieck)
Gruss leduart
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