Gleichsetzen von E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Do 10.01.2008 | | Autor: | philo |
| Aufgabe | Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g mit dem Graph F.
F: $ [mm] f(x)=x*e^{1-x} [/mm] $
g: $ [mm] g(x)=(4-x)*e^{-1} [/mm] $ |
Hi,
ich habe zunächst die beiden Gleichungen gleichgesetzt:
$ f(x) = g(x) $
$ [mm] x*e^{1-x} [/mm] = [mm] (4-x)*e^{-1} [/mm] $
Nun ist mein Problem, dass egal wie ich es versuche aufzulösen, nie auf eine Form komme, in der nicht ln(x) oder $ [mm] e^x [/mm] $ steht, sodass ich nicht x bestimmen kann.
Vielleicht weiß hier jemand weiter :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, die Aufgabe ist ein wenig knifflig. Nach dem Gleichsetzen gelangst Du dazu, dass Du die Gleichung
[mm] $x\left(e^{2-x}+1\right)-4=0$
[/mm]
zu lösen hast.
Setze nun [mm] $h(x):=x\left(e^{2-x}+1\right)-4$ [/mm] $(x [mm] \in \IR)$. [/mm] Die Lösungen der obigen Gleichung sind genau die Nullstellen von $h$.
Mit Stetigkeits- und Monotonieargumenten wirst Du Dir überlegen können, dass diese Funktion genau eine Nullstelle hat. Daher genügt's, wenn wir diese angeben:
Für $x=2$ gilt [mm] $2*\left(e^{2-2}+1\right)-4=2*2-4=0$, [/mm] d.h. die Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] ist die einzige Stelle, wo der Graph von $f$ den Graph von $g$ schneidet. Mit anderen Worten:
Der (einzige) Schnittpunkt ist hier gegeben durch den Punkt [mm] $P(2,f(2))=P(2,g(2))=P(2,2*e^{-1})=P(2,\frac{2}{e})$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Di 15.01.2008 | | Autor: | philo |
Danke für die schnelle Antwort, hat so geklappt :)
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