Gleichseitiges Dreieck bei Vek < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte A(1/2/3) B(4/5/6) C(7/8/9). Verändern sie den Punkt C so, dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht. |
Hallo,
vielen Dank zunächst für eure Aufmerksamkeit. Vorweg ich habe veruscht die Aufgabe alleine zu lösen jedoch in meinem Schulbuch keine Hinweise gefunden,wie es möglich ist, die Aufgabe ist auch als "Knobelaufgabe" gedacht glaube ich.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \wurzel{27}
[/mm]
jetzt muss ich wohl noch erreichen, dass [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{27} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \wurzel{27} [/mm] ergeben. Leider verstehe ich nicht wie ich den Punkt C nun so berechne dass sich diese Konstellation ergibt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun das sollte doch mit Vektorrechnung kein problem darstellen, oder doch?
Wie du richtig sagst, ist deine Grundseite AB ja immer fest, da A und B als fest angesetzt werden, demnach gilt:
> Gegeben sind die Punkte A(1/2/3) B(4/5/6) C(7/8/9).
> Verändern sie den Punkt C so, dass ein gleichseitiges
> Dreieck entsteht.
$ |AB|=|AC|=|BC| [mm] \gdw \wurzel{3^2+3^2+3^2}=\wurzel{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2+(c_3-3)^2}=\wurzel{(c_1-4)^2+(c_2-5)^2+(c_3-6)^2} [/mm] $
Demzufolge ist mir auch etwas unklar, wie du auf [mm] \wurzel{25} [/mm] kommst, ich komme ja auf 27, aber vielleicht habe ich mich vertan, oder du ;)
Das oben sollte jedenfalls lösbar sein, ist aber der ganz mathematische Weg, vielleicht gibts auch einen etwas offensichtlicheren sprich graphisch herleitbaren
merke jedoch, dass der Ansatz uns nicht direkt weiterbringt, da wir zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten haben, ich denk noch ne Minute nach ^^, will nämlich ungern sowas wie die Mittelsenkrechte von AB nach C einführen
Eine Möglichkeit wären zwei Kugeln. Wenn du eine Kugel mit dem Mittelpunkt B nimmst und den Radius AB setzt und eine zweite Kugel dahernimmst, die ihren Mittelpunkt in A hat und den Radius AB, dann hast du zwei Kugeln, die sich in der Mitte schneiden und einen Schnittkreis bilden. Auf dessen äußerem Rand, also vom Mittelpunkt der Sehne AB mit Radius zu diesem Schnittkreis, liegen alle Punkte C des Dreiecks mit der Länge AB
kann man sich dann grob so vorstellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gut, dann vergiss die Lösung mit Kugeln, sollt ihr dann wohl noch nicht benutzen, wenn ihr noch ganz am Anfang seid
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ja mit [mm] \wurzel{27} [/mm] hast du vollkommen Recht, steht glaube ich auch oben so, wenn nicht war aufjedenfall Wurzel 27 gemeint. Ich stehe noch ganz am Anfang der Vektorenrechnung deshalb wäre es möglich, dass es eigentlich eine banale Aufgabe ist, aber zumindestens in meinem Schulbuch steht kein Lösungsansatz für solche Aufgaben.
Ich hab überlegt ob mir mein GTR weiterhilft, aber ich wüsste nicht wie und ob ich überhaupt solche Gleichungen eingeben kann?
Bei der geometrischen Lösung bin ich mir nicht ischer ob die mir hilft, weil ich muss ja dann einen konkreten Punkt angeben, klar kann ich das einigermasen ablesen, aber sonderlich mathematisch ist das ja nicht. Außerdem kenn ich jemanden der die Aufgabe gelöst hat und zwar mathematisch (er ist aber leider nicht bereit mir zu helfen^^).
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Hallo Johannes,
> Gegeben sind die Punkte A(1/2/3) B(4/5/6) C(7/8/9).
> Verändern sie den Punkt C so, dass ein gleichseitiges
> Dreieck entsteht.
> Hallo,
> vielen Dank zunächst für eure Aufmerksamkeit. Vorweg ich
> habe veruscht die Aufgabe alleine zu lösen jedoch in
> meinem Schulbuch keine Hinweise gefunden,wie es möglich
> ist, die Aufgabe ist auch als "Knobelaufgabe" gedacht
> glaube ich.
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\wurzel{27}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du solltest Betragszeichen setzen: [mm] |\overrightarrow{AB}|=\wurzel{27}$
[/mm]
> jetzt muss ich wohl noch erreichen, dass
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{27}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] =
> [mm]\wurzel{27}[/mm] ergeben. Leider verstehe ich nicht wie ich den
> Punkt C nun so berechne dass sich diese Konstellation
> ergibt.
Beachte, dass es hier viele Lösungen geben kann !
Alle möglichen Lösungspunkte bilden zusammen
einen Kreis, der in der Mittelnormalebene der
Strecke liegt. Nett wäre es natürlich, einen Lösungs-
punkt mit ganzzahligen Koordinaten zu finden.
Das könnte mit einer Probiermethode gelingen:
suche zunächst einmal alle Tripel $\ (a/b/c)$ aus
(positiven oder negativen) ganzen Zahlen mit
der Eigenschaft [mm] a^2+b^2+c^2=27.
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hallo,
entweder stehe ich immer noch auf dem Schlauch oder die Lösung scheint nicht zu funktionieren.
Eine mögliche Lösung mit ganzen Zahlen wäre zum Beispiel "5,1,1" denn
[mm] 5^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] = 27 Nehme ich jetzt diese Werte für den Punkt C (so ist es doch gedacht oder?)
dann bekomme ich:
[mm] |\overrightarrow{AC}| [/mm] = [mm] \wurzel{21}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{BC}| [/mm] = [mm] \wurzel{42}
[/mm]
Also kein gleichseitiges Dreieck.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Adamantin |
Du setzt die Zahlen falsch ein! [mm] 5^2 [/mm] ist ja unter der Wurzel schon die DIfferenz von zwei Vektoren, nämlich für AC z.B. [mm] c_1-a_1 [/mm] !! Also hat C nicht die Koordinaten 5,1,1 sondern 5 ergibt sich aus [mm] c_1-1 [/mm] und damit ist [mm] c_1=6 [/mm] !!
Demnach hätte C die Koordinaten 6,3,4
öhm...was mir für B aber trotzdem einen falschen Betrag liefert, womit die Lösung trotzdem nicht stimmt
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Freund Wolfram hat mir gerade mitgeteilt, dass
es doch keine ganzzahligen Lösungspunkte gibt ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Adamantin |
Kann denn der Freund Alpha von Feund Wolfram sowas eigentlich als Suchanfrage lösen? ^^ Ich kenne ja den Integralrechner, aber diese Suchmaschine war mir bisher zu heilig, aber ich könnte mir gut vorstellen, dass wenn man gleichseitiges Dreieck und zwei Punkte eingibt, er dann nen Schnittkreis ausspuckt ;)
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> Kann denn der Freund Alpha von Freund Wolfram sowas
> eigentlich als Suchanfrage lösen?
Ja, ich habe eingegeben:
Solve [mm] (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=27 [/mm] and [mm] (x-4)^2+(y-5)^2+(z-6)^2=27 [/mm] Integers
Ich habe auch schon darüber gestaunt, was einem da
an Rechen-Power praktisch frei Schreibtisch geliefert
wird.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Sa 07.11.2009 | | Autor: | weduwe |
auf welchem sender spielen sie denn tennis?
zum problem:
eine mögliche parameterdarstellung von C wäre:
[mm] \vec{x}_C=\vektor{2.5\\3.5\\4.5}+\frac{9}{2\sqrt{2}}\vektor{1\\-1\\0}cos\alpha+\frac{9}{2\sqrt{6}}\vektor{1\\1\\\-2}sin\alpha
[/mm]
was (auch) nicht gerade für ganzzahlige lösungen spricht.
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> auf welchem sender spielen sie denn tennis?
Auf dem Schweizer SF2 ... ; wo auch noch, weiß
ich nicht. Riesenanlass hier, weil gerade jetzt
zwei Schweizer (einen davon kennst du) im
Halbfinal stehen. Übrigens steht das St.Jakob-
Stadion nur 1km und Rogers (früheres) Eltern-
haus nur 200 m entfernt von meinem früheren
Arbeitsort ... Auch der andere Spieler stammt
übrigens vom gleichen Ort, die beiden waren
schon als kleine Jungen dicke Freunde ... und
übrigens ist auch Patty Schnyder aus dieser
Region.
LG Al
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Hallo,
wenn ich das bei Wolfram Alpha eingebe
Solve [mm] (x-4)^2+(y-5)^2+(z-6)^2=27 [/mm] and [mm] (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=27 [/mm] Integers
dann bekomme ich aber kein Ergebniss? Einzelnt kann er mir die Gleichungen Lösen aber das bringt mich ja auch nicht weiter oder?
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> Hallo,
> wenn ich das bei Wolfram Alpha eingebe
> Solve [mm](x-4)^2+(y-5)^2+(z-6)^2=27[/mm] and
> [mm](x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=27[/mm] Integers
> dann bekomme ich aber kein Ergebnis? Einzeln kann er mir
> die Gleichungen lösen aber das bringt mich ja auch nicht
> weiter oder?
Möglicherweise hast du das Resultat nur übersehen,
denn es erscheint ganz bescheiden in blasser Schrift:
Result:
> (no integer solutions)
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Sa 07.11.2009 | | Autor: | weduwe |
danke schön,
das empfange ich leider nicht in A
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Dann musst du dir eben eine dritte Bedingung schaffen. Was mir eben noch einfällt: Wenn alle Seiten gleich lang sein sollen, eben unsere$ [mm] \wurzel{27}$, [/mm] dann können wir auch sagen, wie lang die Höhe [mm] h_c [/mm] sein soll, die von C zum Mittelpunkt AB geht. Die wäre dann [mm] $\wurzel{27}^2-(\bruch{1}{2}*\wurzel{27})^2=27-0,25*2=h_c^2$, [/mm] eben die Hälfte von AB abgezogen von der Hypotenuse
Diese Höhe [mm] h_c [/mm] ist aber auch wieder der Betrag von: [mm] $|CM_{AB}|$
[/mm]
[mm] $\wurzel{(c1-\bruch{1}{2}M_1)^2+(c_2-\bruch{1}{2}M_2)^2+(c_3-\bruch{1}{2}M_3)^2}=\wurzel{27-\bruch{1}{4}*27}$
[/mm]
M1,2,3 sind ja einfach die Koordinaten des Vektors AB, den du aufstellen kannst und davon die Hälfte.
Damit hättest du eine dritte Gleichung, sprich du brauchst einfach noch eine dritte Gleichung mit C
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