Gleichschenkliges Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 05.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | In einem gleichschenkligen Dreieck ABC wird der Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem Innenwinkeln alfa und gammauntersucht. Realisieren lässt sich dies im Zugmodus eines Dynamischen Geometrie-Systems durch ziehen am Punkt C. Hierdurch werden alfa und gamma als von h abhängige Größen betrachtet. Die Beziehung kann punktuell beschrieben werden ("Wenn h halb so groß ist wie |AB|, dann ist gamma=90°.") oder über einen Bereich hinweg ("Wenn h größer wird, dann wird alfa auch größer, gamma hingegen kleiner."). In gleicher Weise kann das Verhalten an den Grenzen erfasst werden ("Je größer h wird, desto mehr näher sich alfa dem 90°-Winkel."). Alle diese Aussagen finden sich auch in der graphischen Darstellung wieder; hierzu wird h in Vielfachen von |AB| aufgetragen. Diese Funktionalen Zusammenhänge können auch durch die Gleichung:
alfa=arctan*2h/|AB| und gamma=180°-2arctan*2h/|AB| ausgedrückt werden. |
Hallo Leute,
Hab diese hübsche kleine Aufgabe hier in einem Buch gefunden und hätte zu ihr mal zwei Fragen. Zum einem versteh ich auf etwa der Mitte des Textes nicht warum es heißt : "Wenn h halb so groß ist wie |AB|, dann ist gamma=90°." Da stimmt doch was nicht oder irre ich mich?
Weiter frage ich mich wie der Autor auf die Gleichungen zum Ende des Texten kam? Ist mir ein bissi schleierhaft.
Könnte mir vielleicht jemand diese beiden Punkte ein bisschen näher bringen?
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Hallo, betrachte die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] als Durchmesser eines Kreises, wenn [mm] h=0,5\overline{AB} [/mm] so haben wir den Radius des Kreises, Punkt C liegt auf dem Kreis, jetzt gibt es doch den Satz des Thales, weiterhin kannst du die die Beziehung im rechtwinkligen Dreieck aufstellen [mm] tan(\alpha)=\bruch{h}{\bruch{\overline{AB}}{2}}
[/mm]
Steffi
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Hallo, du kannst dir doch mal eine Konstruktion machen, wähle [mm] \overline{AB} [/mm] beliebig, konstruiere den Mittelpunkt M von [mm] \overline{AB}, [/mm] trage rechtwinklig in M die Höhe ab, mit [mm] 0,5\overline{AB}, [/mm] du erhälst Punkt C in einem gleichschenkligen Dreieck, wenn du vom Mittelpunkt einen Kreis mit Radius [mm] 0,5\overline{AB} [/mm] zeichnest, liegt unter Garantie Punkt C, A und B auf dem Kreis!! Somit ist der Winkel [mm] \gamma=90^{0}, [/mm] kennst du den Satz des Thales? Weiterhin ist in diesem Dreieck [mm] \alpha=\beta=45^{0}=\bruch{\gamma}{2}, [/mm] es ist ja gleichschenklig!!
Die Höhe [mm] h_c [/mm] teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, unabhängig, wie groß h ist, die Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck haben also Gültigkeit, z.B. [mm] tan(\alpha)=\bruch{Gegenkathete}{Ankathete}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 05.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
hi steffi,
also das was du schreibst ist mir alles ein begriff. aber jetzt weiß ich immer noch nicht wie die gleichung alfa=arctan*2h/|AB| und gamma=180°-2*arctan*2h/|AB| zustandekommt. die erste kann man ja auch als tan(alfa)=2h/|AB| schreiben oder?
Lg pagnucco
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Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
es gilt doch [mm] tan(\alpha)=\bruch{h}{\bruch{1}{2}\overline{AB}} \gdw tan(\alpha)=\bruch{2h}{\overline{AB}} [/mm]
Wenn du nun nach [mm] \alpha [/mm] auflösen willst, sprich die Umkehrfunktion des $tan_$ suchst, dann ist das eben der $arctan_$.
[mm] \gdw \alpha=arctan\left(\bruch{2h}{\overline{AB}}\right)
[/mm]
Dann gibt es ja einen Satz, der besagt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks stets $180°_$ beträgt.
In unserem Fall (gleichschenklig)
180°= [mm] \gamma+2\alpha [/mm] so nun nach [mm] \gamma [/mm] umstellen
[mm] \gdw \gamma=180°-2\alpha [/mm] nun: [mm] \alpha [/mm] war doch aber [mm] arctan\left(\bruch{2h}{\overline{AB}}\right) [/mm] (siehe oben)
[mm] \gdw \gamma=180°-2*arctan\left(\bruch{2h}{\overline{AB}}\right)
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Fr 05.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
ah, ja super, vielen Dank an euch beide! 
bis bald vielleicht mal wieder
Lg pagnucco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Leider hast du die Lösung nicht verstanden, können wir nochmals helfen? Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
Hi Steffi
danke dir für deine Hilfe, ist sehr nett von dir . ich denke ich habe alles verstanden(das Thema war ja der funktionale Zusammenhang).
Bis bald einmal wieder
lg pagnucco
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