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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen f: I [mm] \to [/mm] IR sind auf I gleichmäßig stetig?
a) f(x) = [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] , I = IR |
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Ersteinmal würde ich aber gerne zeigen, dass [mm] x^2 [/mm] auf ganz IR nicht gleichmäßig stetig ist, und wissen ob das so in Ordnung geht.
Zu zeigen wäre ja:
[mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] IR : |x-y| < [mm] \delta \wedge [/mm] |f(x) - f(y)| [mm] \ge \epsilon
[/mm]
Sei dazu [mm] \epsilon [/mm] := 1 und [mm] \delta [/mm] > 0 beliebig.
Sei weiterhin x:= [mm] \frac{2}{\delta} [/mm] und y := x + [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] = [mm] \frac{2}{\delta} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{2}
[/mm]
Dann folgt:
|x-y| = [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x)-f(y)| = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] y^2| [/mm] = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] \delta [/mm] * x - [mm] \frac{\delta * \delta}{4} [/mm] | = [mm] \delta [/mm] *x + [mm] \frac{\delta * \delta}{4} [/mm] > [mm] \delta [/mm] * x = [mm] \delta [/mm] * [mm] \frac{2}{\delta} [/mm] = 2 > 1 = [mm] \epsilon
[/mm]
Damit wäre [mm] x^2 [/mm] auf ganz IR nicht gleichmäßig stetig. Wäre das so in Ordnung?
Bei der Aufgabe oben würde ich genauso zeigen wollen, dass f(x) = [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] nicht gleichmäßig stetig ist.
Zu zeigen wäre wieder:
[mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] IR : |x-y| < [mm] \delta \wedge [/mm] |f(x) - f(y)| [mm] \ge \epsilon
[/mm]
Sei dazu [mm] \epsilon [/mm] := 1 und [mm] \delta [/mm] > 0 beliebig.
Sei weiterhin x:= [mm] \frac{2}{\delta} [/mm] und y := x + [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] = [mm] \frac{2}{\delta} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{2}
[/mm]
Dann folgt:
|x-y| = [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x) - f(y)| = | [mm] \wurzel{1+x^2} -\wurzel{1+y^2} [/mm] | = [mm] \frac{|x^2 - y^2|}{\wurzel{1+x^2} +\wurzel 1+y^2} [/mm] = [mm] \frac{y^2 + x^2}{\wurzel{1+x^2} +\wurzel 1+y^2} [/mm] = [mm] \frac{x*\delta +\frac{delta*delta}{4}}{\wurzel{1+x^2} +\wurzel 1+y^2} [/mm] > [mm] \frac{x* \delta}{\wurzel{1+x^2} +\wurzel 1+y^2}
[/mm]
Hier komme ich nun nicht mehr weiter, ersetze ich nun x und y durch [mm] \delta [/mm] würde bei beliebig kleinem delta der ausdruck auch belibig klein werden. Anschaulich verhält sich die Funktion aber wie [mm] x^2, [/mm] nur steigt sie nicht so schnell an. Eigentlich sollte es doch genauso funktionieren, dass ich zu jedem [mm] \delta [/mm] nur ein entsprechend großes Paar x und y wählen muss, und dass die Bilder von x und y dann auch endsprechend weit auseinanderliegen. Oder wäre das ein falscher ansatz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 27.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] x^2 [/mm] nicht glm stetig, hilft dir nichts, denn [mm] \wurzel{x²} [/mm] ist es ja!
bei deiner Umformung hast du einen Fehler, im Z steht [mm] y^2-x^2 [/mm] nicht +
die fkt ist näher an y=x als an [mm] y=x^2 [/mm] also versuch glm- Stetigkeit zu zeigen.
Gruss leduart
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Hallo,
danke für die Antwort.
Habe jetzt nochmal versucht Stetigkeit zu zeigen:
Zu zeigen wäre:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in ~\mathbb [/mm] R : |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \epsilon
[/mm]
Sei dazu [mm] \delta [/mm] := [mm] \epsilon
[/mm]
Und es gilt |x-y| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Dann folgt:
|f(x) - f(y)| = | [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] - [mm] \wurzel{1+y^2} [/mm] | = [mm] |\frac{x^2 - y^2}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}}| [/mm] = [mm] \frac{|x-y| |x+y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}} [/mm] < [mm] \delta \frac{|x+y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}} \le \delta \frac{|x| + |y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}} [/mm] < [mm] \delta \frac{|x|+|y|}{|x|+|y|} [/mm] = [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Das letzte < Zeichen gilt, da [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] > |x| [mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] x^2 [/mm] > [mm] |x|^2 [/mm] = [mm] x^2.
[/mm]
Hoffe das ist so in Ordnung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Do 28.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> Habe jetzt nochmal versucht Stetigkeit zu zeigen:
>
> Zu zeigen wäre:
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 : [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in ~\mathbb[/mm]
> R : |x-y| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - f(y)| < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Sei dazu [mm]\delta[/mm] := [mm]\epsilon[/mm]
> Und es gilt |x-y| < [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> |f(x) - f(y)| = | [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] - [mm]\wurzel{1+y^2}[/mm] | =
> [mm]|\frac{x^2 - y^2}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}}|[/mm] =
> [mm]\frac{|x-y| |x+y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}}[/mm] <
> [mm]\delta \frac{|x+y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}} \le \delta \frac{|x| + |y|}{\wurzel{1+x^2} + \wurzel{1+y^2}}[/mm]
> < [mm]\delta \frac{|x|+|y|}{|x|+|y|}[/mm] = [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm]
>
> Das letzte < Zeichen gilt, da [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] > |x|
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 + [mm]x^2[/mm] > [mm]|x|^2[/mm] = [mm]x^2.[/mm]
> Hoffe das ist so in Ordnung.
Ja, das ist es.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Do 28.03.2013 | | Autor: | Stephan123 |
Super, danke :)
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