Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] e^{-x^{2}} [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Guten Tag,
habe hier mal wieder eine Aufgabe an der ich hängen bleibe.
| [mm] \bruch{1}{e^{x^{2}}}- \bruch{1}{e^{y^{2}}} [/mm] | = | [mm] \bruch{e^{y^{2}} - e^{x^{2}}}{e^{x^{2}+y^{2}}} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] e^{y^{2}} [/mm] - [mm] e^{x^{2}}| [/mm] = | [mm] e^{y} [/mm] - [mm] e^{x}|| e^{y} [/mm] + [mm] e^{x}|
[/mm]
Wie macht man nun weiter? Würde mich über einen Tipp freuen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x) = [mm]e^{-x^{2}}[/mm]
> gleichmäßig stetig ist.
> Guten Tag,
>
> habe hier mal wieder eine Aufgabe an der ich hängen
> bleibe.
>
> | [mm]\bruch{1}{e^{x^{2}}}- \bruch{1}{e^{y^{2}}}[/mm] | = |
> [mm]\bruch{e^{y^{2}} - e^{x^{2}}}{e^{x^{2}+y^{2}}}[/mm] | [mm]\le[/mm] |
> [mm]e^{y^{2}}[/mm] - [mm]e^{x^{2}}|[/mm] = | [mm]e^{y}[/mm] - [mm]e^{x}|| e^{y}[/mm] + [mm]e^{x}|[/mm]
>
> Wie macht man nun weiter?
So kommst Du nicht weiter, denn das letzte"=" ist völlig falsch !
Es ist [mm] (e^x)^2 \ne e^{x²} [/mm] sondern [mm] (e^x)^2=e^{2x}
[/mm]
> Würde mich über einen Tipp freuen.
Zeige, dass die Ableitung f' auf [mm] \IR [/mm] beschränkt ist und zeige dann damit und mit dem Mittelwertsatz, dass f auf [mm] \IR [/mm] sogar Lipschitzstetig ist.
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke :) habs nun.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke :) habs nun.
Dann lass mal sehen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. f'(x) = [mm] -2xe^{-x^{2}}, [/mm] f''(x) = [mm] e^{-x^{2}}*(4x^{2}-2), [/mm] f'''(x) = [mm] 4xe^{-x^{2}}(3-2x^{2}). [/mm] f''(x) = 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-\wurzel{2}}{2} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}. f'''(\bruch{-\wurzel{2}}{2}) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] ist Hochpunkt. Desweiteren gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0. Also nimmt f bei [mm] x_{1} [/mm] ihr globales Maximum an. Es ist [mm] f(x_{1}) [/mm] < 1. [mm] (\*)
[/mm]
Seien [mm] x_{1}, x_{2} \in \IR [/mm] beliebig mit [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}. [/mm] Dann ist [mm] f:[x_{1},x_{2}] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig und auf [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] differenzierbar. Dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein [mm] x_{0} [/mm] , so dass:
[mm] |f'(x_{0})| [/mm] = [mm] \bruch{|f(x_{2}) - f(x_{1})|}{|x_{2} - x_{1}|} \Rightarrow |f(x_{2}) [/mm] - [mm] f(x_{1})| [/mm] = [mm] |f'(x_{0})||x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}| \le |x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}| (\*)
[/mm]
Also ist f Lipschitz Stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f ist gleichmäßig stetig.
Ist das so richtig? Was die Abschätzung angeht, hätte man es bestimmt auch leichter machen können.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. f'(x) = [mm]-2xe^{-x^{2}},[/mm] f''(x) = [mm]e^{-x^{2}}*(4x^{2}-2),[/mm]
> f'''(x) = [mm]4xe^{-x^{2}}(3-2x^{2}).[/mm] f''(x) = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{-\wurzel{2}}{2}[/mm] oder [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}. f'''(\bruch{-\wurzel{2}}{2})[/mm] < 0
> [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] ist Hochpunkt.
..... von f' ..
f' hat auch noch einen Tiefpunkt !!
> Desweiteren gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 0.
Wir wollen doch zeigen, dass f' beschränkt ist !! dazu brauchst Du noch: [mm]\limes_{x\rightarrow\ \pm infty}[/mm] f'(x) = 0.
> Also nimmt f bei
> [mm]x_{1}[/mm] ihr globales Maximum an.
Na ja, wir haben also: es ex. ein L>0: |f'(x)| [mm] \le [/mm] M für alls x [mm] \in \IR.
[/mm]
> Es ist [mm]f(x_{1})[/mm] < 1. [mm](\*)[/mm]
Wozu ? Es geht um die Beschränktheit von f'
>
> Seien [mm]x_{1}, x_{2} \in \IR[/mm] beliebig mit [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}.[/mm] Dann
> ist [mm]f:[x_{1},x_{2}][/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig und auf [mm](x_{1}, x_{2})[/mm]
> differenzierbar. Dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein
> [mm]x_{0}[/mm] , so dass:
>
> [mm]|f'(x_{0})|[/mm] = [mm]\bruch{|f(x_{2}) - f(x_{1})|}{|x_{2} - x_{1}|} \Rightarrow |f(x_{2})[/mm]
> - [mm]f(x_{1})|[/mm] = [mm]|f'(x_{0})||x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}| \le |x_{2}[/mm] -
> [mm]x_{1}| (\*)[/mm]
Nein, sondern: [mm]|f'(x_{0})||x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}| \le L* |x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}| (\*)[/mm]
FRED
>
> Also ist f Lipschitz Stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f ist gleichmäßig
> stetig.
>
> Ist das so richtig? Was die Abschätzung angeht, hätte man
> es bestimmt auch leichter machen können.
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Ok. f'(x) = [mm]-2xe^{-x^{2}},[/mm] f''(x) = [mm]e^{-x^{2}}*(4x^{2}-2),[/mm]
> > f'''(x) = [mm]4xe^{-x^{2}}(3-2x^{2}).[/mm] f''(x) = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm]
> > = [mm]\bruch{-\wurzel{2}}{2}[/mm] oder [mm]x_{2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}. f'''(\bruch{-\wurzel{2}}{2})[/mm] < 0
> > [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] ist Hochpunkt.
>
> ..... von f' ..
>
> f' hat auch noch einen Tiefpunkt !!
>
>
>
>
> > Desweiteren gilt:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 0.
>
>
> Wir wollen doch zeigen, dass f' beschränkt ist !! dazu
> brauchst Du noch: [mm]\limes_{x\rightarrow\ \pm infty}[/mm] f'(x) =
> 0.
Ja, ich habe an dieser Stelle vergessen f' zu schreiben. Meinte aber eigentlich f'.
> > Also nimmt f bei
> > [mm]x_{1}[/mm] ihr globales Maximum an.
>
> Na ja, wir haben also: es ex. ein L>0: |f'(x)| [mm]\le[/mm] M für
> alls x [mm]\in \IR.[/mm]
>
>
>
>
> > Es ist [mm]f(x_{1})[/mm] < 1. [mm](\*)[/mm]
>
> Wozu ? Es geht um die Beschränktheit von f'
Hier noch Mal das gleiche wie oben...
>
> >
> > Seien [mm]x_{1}, x_{2} \in \IR[/mm] beliebig mit [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}.[/mm] Dann
> > ist [mm]f:[x_{1},x_{2}][/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig und auf [mm](x_{1}, x_{2})[/mm]
> > differenzierbar. Dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein
> > [mm]x_{0}[/mm] , so dass:
> >
> > [mm]|f'(x_{0})|[/mm] = [mm]\bruch{|f(x_{2}) - f(x_{1})|}{|x_{2} - x_{1}|} \Rightarrow |f(x_{2})[/mm]
> > - [mm]f(x_{1})|[/mm] = [mm]|f'(x_{0})||x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}| \le |x_{2}[/mm] -
> > [mm]x_{1}| (\*)[/mm]
>
> Nein, sondern: [mm]|f'(x_{0})||x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}| \le L* |x_{2}[/mm]
> - [mm]x_{1}| (\*)[/mm]
>
>
> FRED
> >
> > Also ist f Lipschitz Stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f ist gleichmäßig
> > stetig.
> >
> > Ist das so richtig? Was die Abschätzung angeht, hätte man
> > es bestimmt auch leichter machen können.
> >
> > LG Loriot95
>
Danke dir ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Frage an Dich: wenn Du eine stetig differenzierbare Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] hast mit $f'(x) [mm] \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] und ich behaupte, dass f auf [mm] \IR [/mm] Lipschitzstetig ist, wie würdest Du das zeigen ? (f muß nicht 2 - mal differenzierbar sein , Du kannst also nicht wie oben mit f'' und f''' argumentieren))
Wenn Du gezeigt hast, dass f' beschränkt ist, bist Du fertig (MWS !)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Puh, gute Frage. Ich mein es ist klar, das einen Maximalen Wert [mm] f'(x_{M}) [/mm] geben muss. Mir fällt da nur zu ein, dass auf jedem beliebigen Intervall [a,b] die Funktion stetig ist und somit auf jeden dieser Intervalle ein Maximum annimmt. Ist das der richtige Weg?
LG lorio95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Puh, gute Frage. Ich mein es ist klar, das einen Maximalen
> Wert [mm]f'(x_{M})[/mm] geben muss. Mir fällt da nur zu ein, dass
> auf jedem beliebigen Intervall [a,b] die Funktion stetig
> ist und somit auf jeden dieser Intervalle ein Maximum
> annimmt. Ist das der richtige Weg?
Ja, merk Dir die folgende Argumentation, Du kannst sie in ähnlichen Fällen oft gebrauchen:
Wir haben: $| f'(x)| [mm] \to [/mm] 0 $ für $ x [mm] \to \pm \infty [/mm] $, also gibt es ein R>0 mit: |f'(x)| [mm] \le [/mm] 1 für |x|>R.
Da |f'| auf [-R,R] stetig ist, gibt es ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit: |f'(x)| [mm] \le [/mm] M für |x| [mm] \le [/mm] R.
Setze L: = max { 1, M }. Dann:
|f'(x)| [mm] \le [/mm] L für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> LG lorio95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Die Argumentation kommt mir auch sehr bekannt vor. Die kam schon zwei oder drei mal bei meinen Fragen hier im Matheraum vor glaube ich. Werde sie mir merken. Vielen Dank für deine Hilfe und Mühe. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Argumentation kommt mir auch sehr bekannt vor. Die kam
> schon zwei oder drei mal bei meinen Fragen hier im
> Matheraum vor glaube ich
Ja, und mindestens einmal kam sie von mir.
FRED
> . Werde sie mir merken. Vielen Dank
> für deine Hilfe und Mühe. :)
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