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| Aufgabe 1 | Welche der nachfolgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig?
a) [mm] f(x):=\frac{1}{x}, D(f):=(0,\infty) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) [mm] f(x):=\frac{1}{x}, D(f):=[1,\infty) [/mm] |
| Aufgabe 3 | | c) [mm] f(x):=x^{2}, D(f):=\mathbb{R} [/mm] |
| Aufgabe 4 | | c) [mm] f(x):=x^{2}, [/mm] D(f):=[a,b] [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] |
Hallo!
Diese vier Beispiele habe ich schon gelöst - zumindest glaube ich das. Da ich einige Zeit zum Lösen gebraucht habe und zum ersten Mal mit gleichmäßiger Stetigkeit zu tun habe, bin ich mir aber überhaupt nicht sicher, ob meine Lösungswege korrekt sind.
Meine Lösungen:
a) [mm] f|x-y|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y}|<\varepsilon \Leftrightarrow |y-x|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{yx}(y-x)|<\varepsilon
[/mm]
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = 1. [mm] \exists \delta: |y-x|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{yx}(y-x)|<1. |(y-x)|<\delta \Rightarrow \delta [/mm] < yx [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in (0,\infty)
[/mm]
Nach Eudoxos gibt es aber x,y, für die das nicht gilt [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) nicht gleichmäßig stetig
b)Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon. [/mm] Dann gilt: [mm] |x-y|<\varepsilon \Rightarrow |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|>|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|.
[/mm]
Wenn also [mm] |x-y|<\varepsilon, [/mm] dann erst recht [mm] |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) gleichmäßig stetig
Bei c) habe ich f(x)-f(y)=x²-y² in (x+y)² [mm] (x-y)^{2} [/mm] aufgeteilt, und [mm] \varepsilon [/mm] = 1 gewählt. Dann komme ich auf [mm] |x+y|<\vardelta \forall [/mm] x,y [mm] \in \mathbb{R} (\delta [/mm] beliebig), was auch nicht sein kann.
Und bei d) bin ich mir am unsichersten. Dann habe ich dann c=(max(|a|,|b|) gewählt, und [mm] \delta=\frac{\varepsilon}{2c}, [/mm] und f(x) ist dann bei mir gleichmäßig stetig.
Jetzt meine Frage: Stimmt das so? Ich bin mir wie gesagt überhaupt nicht sicher.
Lg HvO
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
> Diese vier Beispiele habe ich schon gelöst - zumindest
> glaube ich das. Da ich einige Zeit zum Lösen gebraucht
> habe und zum ersten Mal mit gleichmäßiger Stetigkeit zu
> tun habe, bin ich mir aber überhaupt nicht sicher, ob
> meine Lösungswege korrekt sind.
die gute Nachricht vorweg: Alle deine Lösungen sind korrekt.
Die Schlechte: Am Aufschreiben musst du noch ein Bisschen arbeiten.
Anmerkung: Nach Durcharbeiten deiner Lösung korriegiere ich das "ein Bisschen" mal auf "eine ganze Menge"!
> a) [mm]f|x-y|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{x}[/mm] -
> [mm]\frac{1}{y}|<\varepsilon \Leftrightarrow |y-x|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{yx}(y-x)|<\varepsilon[/mm]
Die Äquivalent etc ist alles korrekt. ABER: Das kann man doch auch kürzer und übersichtlicher aufschreiben.
Du musst weder die [mm] $\delta$-Bedingung, [/mm] noch die Folgerung jedesmal mitschleppen.
Hilfreich ist auch, erstmal hinzuschreiben, was du überhaupt zeigen willst, denn das wird überhaupt nicht klar.
> Wähle [mm]\varepsilon[/mm] = 1.
Warum kannst du dich auf ein [mm] \varepsilon [/mm] beschränken?
Hättest du hingeschrieben, was du machen willst, wär das klar.
>[mm]\exists \delta: |y-x|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{yx}(y-x)|<1. |(y-x)|<\delta \Rightarrow \delta[/mm]
> < yx [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in (0,\infty)[/mm]
Die Folgerung gilt so ohne Begründung nicht!
Es gilt:
$|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] und daher [mm] $|\frac{1}{yx}(y-x)| [/mm] < [mm] \frac{\delta}{yx}$
[/mm]
Das ist korrekt.
Aber nur weil [mm] $|\frac{1}{yx}(y-x)| [/mm] < 1$ muss das noch lange nicht heissen, dass auch $ [mm] \frac{\delta}{yx} [/mm] < 1$ !
> Nach Eudoxos gibt es aber
Wer ist Eudoxos? (Wikipedia hilft, aber sowas hat im Beweis nix zu suchen)
> x,y, für die das nicht gilt [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) nicht
> gleichmäßig stetig
Ja, das steht, wenn du alles korrekt aufschreibst, trotzdem dort.
> b)Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Wähle [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon.[/mm] Dann
> gilt: [mm]|x-y|<\varepsilon \Rightarrow |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|>|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|.[/mm]
Die Aussage ist so falsch. Da steht ein größer zwischen zwei gleichen Ausdrücken, das kann nix werden.
Ich vermute mal du meinst:
$|x-y| > [mm] |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$
[/mm]
Aber die Umformungen dahin wären trotzdem nett für den Korrektor.
Und toll wäre auch immer die Kette dann in der Form
$|f(x) - f(y)| [mm] \le \ldots [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
aufzuschreiben, dann sieht man auch gleich, was du alles machst.
Das gilt übrigens für alle Stetigkeitsaufgaben und nicht nur für diese.
Macht die Korrektur auch gleich viel übersichtlicher.
> Wenn also [mm]|x-y|<\varepsilon,[/mm] dann erst recht
> [mm]|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) gleichmäßig stetig
Ja und offensichtlich (das fehlt als Kommentar), hängt die Wahl von [mm] \delta [/mm] dann nicht von x ab !
> Bei c) habe ich f(x)-f(y)=x²-y² in (x+y)² [mm](x-y)^{2}[/mm]
> aufgeteilt,
Was falsch ist.
> und [mm]\varepsilon[/mm] = 1 gewählt.
Warum?
> Dann komme ich auf [mm]|x+y|<\vardelta \forall[/mm] x,y [mm]\in \mathbb{R} (\delta[/mm] beliebig), was auch nicht sein kann.
Gleicher Fehler wie oben und auch hier wäre es schön, wenn du VORHER hinschreibst, warum du was machst.
> Und bei d) bin ich mir am unsichersten. Dann habe ich dann
> c=(max(|a|,|b|) gewählt, und
> [mm]\delta=\frac{\varepsilon}{2c},[/mm] und f(x) ist dann bei mir
> gleichmäßig stetig.
Ja, oder ihr nutzt aus (das habt ihr bestimmt gezeigt), dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist.
Toller Satz und löst die Aufgabe in einer Zeile 
MFG,
Gono.
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