Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig? Beweisen Sie Ihre Antwort.
1. f: [mm] \IR_{>0} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x}
[/mm]
2. f: [-1;1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x+2}
[/mm]
3. f: [mm] \IR_{\ge 0} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x} [/mm] |
Hallo,
ich möchte von euch gerne wissen, ob meine bisherigen Überlegungen zu der obigen Aufgabe richtig sind:
1. nicht gleichmäßig stetig
2. gleichmäßig stetig
3. gleichmäßig stetig
Stimmt das so?
Kann man bei der zweiten Funktion den folgenden Satz anwenden, da [-1;1] eine kompakte Menge und die angegebene Funktion stetig ist?
"Es sei f eine stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes X in einen metrischen Raum Y. Dann ist f gleichmäßig stetig auf X."
Wenn das so stimmt, kann ich über die Beweise grübeln...
Vielen Dank!
Gruß
Irina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Stimmt alles.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
Danke Robert für die Antwort!
Ich komme leider beim Beweis der gleichmäßigen Stetigkeit der 3. Funktion (Quadratwurzelfunktion) nicht weiter...
Zu zeigen ist: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR_{\ge 0} [/mm] : |a-b| < [mm] \delta \Rightarrow |\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b}|<\varepsilon
[/mm]
Ich bekomme leider die Implikation nicht hin. Ich weiß, dass ich [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2 [/mm] wählen muss, aber wie geht's weiter?
|a-b| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |a-b| < [mm] \varepsilon^2 \Rightarrow |\wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}||\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b}| [/mm] < [mm] \varepsilon^2 \Rightarrow [/mm] ... ??? ... [mm] \Rightarrow |\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b}|<\varepsilon
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Irina
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Hallo Irina,
> Danke Robert für die Antwort!
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> Ich komme leider beim Beweis der gleichmäßigen Stetigkeit
> der 3. Funktion (Quadratwurzelfunktion) nicht weiter...
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> Zu zeigen ist: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IR_{\ge 0}[/mm] : |a-b| < [mm]\delta \Rightarrow |\wurzel{a}[/mm]
> - [mm]\wurzel{b}|<\varepsilon[/mm]
>
> Ich bekomme leider die Implikation nicht hin. Ich weiß,
> dass ich [mm]\delta[/mm] := [mm]\varepsilon^2[/mm] wählen muss, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber wie
> geht's weiter?
>
> |a-b| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |a-b| < [mm]\varepsilon^2 \Rightarrow |\wurzel{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel{b}||\wurzel{a}[/mm] - [mm]\wurzel{b}|[/mm] < [mm]\varepsilon^2 \Rightarrow[/mm]
> ... ??? ... [mm]\Rightarrow |\wurzel{a}[/mm] -
> [mm]\wurzel{b}|<\varepsilon[/mm]
Zeige mal in einer Nebenrechnung, dass [mm] $\left|\sqrt{x}-\sqrt{a}\right|\le\sqrt{|x-a|}$ [/mm] ist.
Mache dazu eine Fallunterscheidung $x>a, x<a$, quadriere und du hast es beinahe schon.
Damit kannst du mit [mm] $|x-a|<\varepsilon^2$ [/mm] dann schließen, dass [mm] $|f(x)-f(x)|=\left|\sqrt{x}-\sqrt{a}\right|\le \sqrt{|x-a|}\le\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon$
[/mm]
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> Irina
>
Gruß
schachuzipus
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