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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion f: x [mm] \mapsto [/mm] sin(x) auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hallo Leute,
ich komme einfach nicht mit dieser gleichmäßigen Stetigkeit zurecht.Mir fehlt immer irgendwie die Idee, wie man das am Besten alles umformt...
Ich muss hier ja zeigen, dass gilt:
|x-y| < [mm] \delta (\varepsilon) \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Es ist |f(x)-f(y)| = |sin(x)-sin(y)|
Und schon weiß ich wieder nicht mehr, wie ich umformen soll, damit ich am Ende einen Wert für [mm] \delta (\varepsilon) [/mm] erhalte...
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Danke im Voraus.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist
sinx - siny = cost (x-y) , wobei t zwischen x und y .
Also |f(x) - f(y)| = |cost| |x-y| [mm] \le [/mm] |x-y|
Ist also [mm] \epsilon [/mm] >0 gegeben, so kannst Du [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] wählen.
FRED
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Danke, das ist eine gute Idee.
Ist es denn allgemein ratsam, für glm. Stetigkeit den MWS zu verwenden?
Schließlich muss man sich ja immer sicher sein, dass die Funktion zumindest schonmal stetig ist, oder?
Gruß Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke, das ist eine gute Idee.
> Ist es denn allgemein ratsam, für glm. Stetigkeit den MWS
> zu verwenden?
> Schließlich muss man sich ja immer sicher sein, dass die
> Funktion zumindest schonmal stetig ist, oder?
>
> Gruß Michael
Den MWS kannst Du in der folgenden Situation anwenden:
Sei J ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und f: J --> [mm] \IR [/mm] eine Funktion.
Ist f auf J differenzierbar und ist die Ableitung f' auf J beschränkt, etwa |f'| [mm] \le [/mm] M auf J, so gilt für x,y [mm] \in [/mm] J nach dem MWS:
|f(x) - f(y)| = |f'(t)| |x-y| [mm] \le [/mm] M|x-y|
Damit ist f auf J sogar Lipschitzstetig, insbesondere also gleichmäßig stetig.
FRED
P.S.: Ich denke Ihr hattet folgenden Satz: Stetige Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich sind dort gleichmäßig stetig.
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Ich danke Dir.
Lipschitz-Stetigkeit hatten wir zwar noch nicht durchgenommen, aber das ist ja egal, dieser Tipp hilft mir auf jeden Fall weiter.
Bis dann.
Gruß Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke Dir.
> Lipschitz-Stetigkeit hatten wir zwar noch nicht
> durchgenommen, aber das ist ja egal, dieser Tipp hilft mir
> auf jeden Fall weiter.
> Bis dann.
>
> Gruß Michael
Eine Funktion f heißt auf ihrem Definitionsbereich D Lipschitzstetig
: [mm] \gdw [/mm] es ex. L [mm] \ge [/mm] 0 mit |f(x)- f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D
FRED
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