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| Aufgabe | | Es sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \wurzel{1+x^{2}} [/mm] . Zeigen Sie, dass f gleichmäßig Stetig ist. |
Hallo Leute,
hier ist noch eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin.
Ich habe vorausgesetzt, dass gilt:
[mm] \delta(\varepsilon) \ge [/mm] |x-y|
Dies ist doch äquivalent zu:
|x| [mm] \le [/mm] |y| + [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] nach der Dreiecksungleichung.
Nun ist |f(x) - f(y)| = [mm] |\wurzel{1+x^{2}} [/mm] - [mm] \wurzel{1+y^{2}}|
[/mm]
Jetzt komme ich aber leider nicht mehr weiter.Ich wollte eigentlich so umformen, dass im Betrag |x| alleine steht, damit ich dies nach oben abschätzen kann, aber das funktioniert bei mir irgendwie nicht...
Hoffentlich kann mir jemand von euch weiterhelfen.
Danke im Voraus.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
f ist global Lipschitz-stetig, da die erste Ableitung beschränkt ist. Also ist f gleichmäßig stetig und man kann [mm] \delta [/mm] := [mm] \frac{\epsilon}{L} [/mm] setzen.
Falls du nicht über die Lipschitz-stetigkeit gehen willst/darfst, dann könntest du versuchen [mm]|\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}|[/mm] mit [mm]|\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}|[/mm] zu erweitern und dann vielleicht irgendwie abschätzen.
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Hi,
Also Lipschitz-Stetigkeit hab ich noch nie verwendet.
Würde es also lieber über den anderen Weg machen.
Aber mit der Erweiterung komm ich trotzdem noch nicht wirklich weiter.
Könntest Du vielleicht noch 1-2 Schritte weiter gehen?
Danke für Deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Do 21.08.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $|\wurzel{1+x^{2}} [/mm] - [mm] \wurzel{1+y^{2}}| [/mm] = [mm] \frac{ |\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| |\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}|}{|\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}| }\leq \frac{|x^2-y^2|}{|x|+|y|} =||x|-|y||\leq [/mm] |x-y|$
ciao
Stefan
EDIT: Ja, die Betragsstriche fehlten. Ich weiß auch nicht, warum ich die plötzlich verloren hatte.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:03 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]|\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| = \frac{ |\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| |\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}|}{|\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}| }\leq \frac{\red{|}x^2-y^2\red{|}}{|x|+|y|} \red{=|x|-|y|}\leq |x-y|[/mm]
>
> ciao
> Stefan
Hast da zum Schluss, glaub ich, irgendwie das mit den Beträgen etwas durcheinander geworfen. Hab das, was mir komisch vorkommt, rot angemalt. Aber nix, was man nicht korrigieren könnten ^^
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Hallo Stefan,
danke für die Hilfe.
Jetzt versteh ich den Weg. Nur die Schritte 2 und 3 kann ich noch nicht ganz nachvollziehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Er verwendet zum Einen die binomische Formel [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] und zum Anderen die Abschätzung [mm] \sqrt{1+x^2} \ge \sqrt{x^2}.
[/mm]
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Ach ja, klar :P
Super, danke euch.
Gruß Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 21.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um Merles Korrektur zu vervollständigen:
> [mm]|\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| = \frac{ |\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| |\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}|}{|\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}| }\leq \frac{x^2-y^2}{|x|+|y|} =|x|-|y|\leq |x-y|[/mm]
>
> ciao
> Stefan
entweder sollte man vorher etwas über $x,y$ sagen (z.B. o.B.d.A. seien $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x$, wobei man begründen sollte, warum man das o.E. annehmen darf), oder man sollte auch um $|x|-|y|$ noch ein Betragszeichen machen, also insgesamt:
[mm]|\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| = \frac{ |\wurzel{1+x^{2}} - \wurzel{1+y^{2}}| |\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}|}{|\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+y^{2}}| }\leq \frac{\red{|}x^2-y^2\red{|}}{|x|+|y|} =\red{|}|x|-|y|\red{|}\leq |x-y|[/mm]
denn für $|x| < |y|$ steht im Original (und auch noch in Merles Korrektur an einer Stelle) etwas "Falsches", wobei das natürlich schlicht Flüchtigkeitsfehler sind.
Gruß,
Marcel
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