Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 13.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | | Beweisen Sie indirekt, dass die Funktion p: R --> R [mm] \wedge [/mm] x [mm] \mapsto y=p(x):=x^{2} [/mm] nicht gleichmäßig stetig ist! |
Hallo,
ich habe mir schon die älteren Beiträge zu diesem Thema und Beispiel angeschaut, aber leider keinen gefunden der so richtig meine Frage beantwortet.
Also, ich weiß was Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit ist und habe, glaube ich auch den Unterschied verstanden, dass Stetigkeit nur eine Stelle x meint von der dann das [mm] \delta [/mm] auch abhängt und gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass die Funktion an allen Stellen stetig sein soll und [mm] \delta [/mm] somit von x unabhängig ist, also nur noch von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt.
Nun heißt ja indirekter Beweis, dass ich mal davon ausgehe, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist, also, dass ich solch ein [mm] \delta [/mm] finde, das nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt. Ich muss dann zu einem Widerspruch kommen und zeigen, dass es dieses [mm] \delta [/mm] für die Funktion nicht gibt.
Wenn das so stimmt, dann ist mir theoretisch erstmal klar was zu tun ist.
Nun die Frage: Wie mache ich das denn an einem praktischen Beispiel wie dieser Funktion? Ich meine, woher soll ich denn wissen, dass es solch ein [mm] \delta [/mm] wirklich nicht gibt und ich nicht einfach nur zu dumm bin es zu finden  ?
LG Anne
|
|
| |
|
> Beweisen Sie indirekt, dass die Funktion p: R --> R [mm]\wedge[/mm]
> x [mm]\mapsto y=p(x):=x^{2}[/mm] nicht gleichmäßig stetig ist!
> Hallo,
>
> ich habe mir schon die älteren Beiträge zu diesem Thema und
> Beispiel angeschaut, aber leider keinen gefunden der so
> richtig meine Frage beantwortet.
>
> Also, ich weiß was Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
> ist und habe, glaube ich auch den Unterschied verstanden,
> dass Stetigkeit nur eine Stelle x meint von der dann das
> [mm]\delta[/mm] auch abhängt und gleichmäßige Stetigkeit bedeutet,
> dass die Funktion an allen Stellen stetig sein soll und
> [mm]\delta[/mm] somit von x unabhängig ist, also nur noch von
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängt.
>
> Nun heißt ja indirekter Beweis, dass ich mal davon ausgehe,
> dass die Funktion gleichmäßig stetig ist, also, dass ich
> solch ein [mm]\delta[/mm] finde, das nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt.
> Ich muss dann zu einem Widerspruch kommen und zeigen, dass
> es dieses [mm]\delta[/mm] für die Funktion nicht gibt.
>
> Wenn das so stimmt, dann ist mir theoretisch erstmal klar
> was zu tun ist.
>
> Nun die Frage: Wie mache ich das denn an einem praktischen
> Beispiel wie dieser Funktion? Ich meine, woher soll ich
> denn wissen, dass es solch ein [mm]\delta[/mm] wirklich nicht gibt
> und ich nicht einfach nur zu dumm bin es zu finden ?
Sei also ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben. Nehmen wir einmal an, es gäbe ein [mm] $\delta [/mm] >0$ mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] $x_1,x_2\in \IR$ [/mm] gilt:
[mm]|x_2-x_1|<\delta \Rightarrow |x_2^2-x_1^2|<\varepsilon[/mm]
Betrachten wir einmal den Fall [mm] $x_1$, $x_2 [/mm] := [mm] x_1+\frac{\delta}{2}$. [/mm] Dann ist zwar, unabhängig von der Wahl von [mm] $x_1\in \IR$, $|x_2-x_1|=\frac{\delta}{2}<\delta$, [/mm] aber es ist auch
[mm]|x_2^2-x_1^2|=|(x_1+\delta/2)^2-x_1^2|=|\delta x_1+\delta^2/4|>\delta |x_1|\underset{x_1\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty[/mm]
ein Widerspruch zur behaupteten, von unserer Wahl von [mm] $x_1$ [/mm] unabhängigen Gültigkeit von [mm] $|x_2^2-x_1^2|<\varepsilon$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:58 Mo 14.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Dankeschön!
Jetzt weiß ich mal wie man es aufschreibt. Trotzdem nochmal meine Frage:
Kann es nicht sein, dass du [mm] x_{2} [/mm] einfach nur ungünstig gewählt hast und das es für eine andere Wahl funktionieren würde?
Lg Anne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mo 14.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anne!
> Kann es nicht sein, dass du [mm]x_{2}[/mm] einfach nur ungünstig
> gewählt hast und das es für eine andere Wahl funktionieren
> würde?
Das mag zwar sein, daß es für andere Werte funktionieren würde (ganz sicher sogar, wenn ich [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] wähle, funktioniert es natürlich), aber der Dreh ist ja, daß es für alle funktionieren soll. Also muß ich nur ein Gegenbeispiel finden.
In Somebodys Text sollte [mm] x_{1} [/mm] > 0 sein, damit die Abschätzung stimmt, aber das macht nach dem eben Gesagten auch nichts.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mo 14.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
ich habe jetzt deine Abschätzung noch nicht ganz verstanden:
Was ist denn mit dem [mm] \varepsilon, [/mm] über das wird ja gar nichts ausgesagt. Jetzt weiß ich, dass [mm] |x_{2}^{2}-x_{1}^{2}|>\delta*|x_{2}|,
[/mm]
aber jetzt hab ich gezeigt, dass [mm] \delta [/mm] von x abhängt und bin vom Betrag der Quadrate ausgegangen, der doch aber einfach nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen soll. Was ist denn jetzt für eine Schlussfolgerung möglich?
Kannst du das bitte nochmal ein bisschen erklären, so richtig verstanden hab ich es doch nicht...
Dankeschön!
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe jetzt deine Abschätzung noch nicht ganz
> verstanden:
> Was ist denn mit dem [mm]\varepsilon,[/mm] über das wird ja gar
> nichts ausgesagt. Jetzt weiß ich, dass
> [mm]|x_{2}^{2}-x_{1}^{2}|>\delta*|x_{2}|,[/mm]
> aber jetzt hab ich gezeigt, dass [mm]\delta[/mm] von x abhängt und
> bin vom Betrag der Quadrate ausgegangen, der doch aber
> einfach nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängen soll. Was ist denn
> jetzt für eine Schlussfolgerung möglich?
> Kannst du das bitte nochmal ein bisschen erklären, so
> richtig verstanden hab ich es doch nicht...
Es geht darum zu zeigen, dass niemand in der Lage ist, die Behauptung
[mm] [center]$\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x_1,x_2\in \IR \big(|x_2-x_1|\Rightarrow |x_2^2-x_1^2|<\varepsilon\big)$[/center]
[/mm]
gegen jeden möglichen Widerlegungsversuch zu verteidigen.
Ich stelle mir also eine Situation vor, in der ich ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] wähle (eine ganz konkrete Zahl, die für den weiteren Verlauf der Herleitung eines Widerspruchs konstant bleibt: Du darfst im folgenden auch annehmen, dass [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] sei, obwohl es auf den exakten Wert von [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht ankommt, wie sich zeigen wird).
Nachdem ich also ein konkretes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gewählt habe, muss derjenige, der die gleichmässige Stetigkeit von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] behauptet, ein [mm] $\delta>0$ [/mm] angeben (bei dieser Wahl kann er sich aber erst auf die Kenntnis des von mir gewählten [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und $f(x)$ stützen). Auch dieses [mm] $\delta [/mm] >0$ bleibt für den weiteren Verlauf der Herleitung des Widerspruches konstant. Da wir aber nicht wissen können, welches konkrete [mm] $\delta>0$ [/mm] unser "Gegner" wählt, müssen wir uns hier mit einer bloss symbolischen Bezugname [mm] "$\delta$" [/mm] auf die konkrete gewählte Zahl begnügen.
Erst nachdem also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $\delta>0$ [/mm] gewählt sind und damit als konkrete Zahlen feststehen (nicht mehr variieren können), zeige ich, dass es möglich sein muss, [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] so zu wählen, dass zwar [mm] $|x_2-x_1|<\delta$ [/mm] gilt, aber [mm] $|x_2^2-x_1^2|<\varepsilon$ [/mm] nicht.
Damit ist gezeigt, dass derjenige, der die gleichmässige Stetigkeit von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] (mit Def'bereich [mm] $\IR$) [/mm] behauptet, nicht in der Lage ist, diese Behauptung gegen jeden kritischen "Angriff" zu verteidigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 14.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Vielen Dank für diese schöne "Anleitung" zum spielen des
[mm] "\varepsilon-\delta-Spieles" [/mm] der gleichmäßigen Stetigkeit !
|
|
|
|
