Gleichmäßige Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 05.01.2005 | | Autor: | jakob |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe hier folgende Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm]
x [mm] \mapsto \bruch{1}{1+ e^{x}}
[/mm]
Ich soll zeigen, dass soie gleichmäüßig stetig ist.
Ich weiß, dass gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M:
(|x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon)
[/mm]
gilt. D.h. dass das [mm] \delta [/mm] nicht von x [mm] \in [/mm] M abhängen darf. Mir fällt es aber schwer, das passende [mm] \varepsilon [/mm] zu finden für diese Funktion, sodass ich nicht genau weiß, wie ich hier vorgehen soll.
Ich bitte um einige Tipps.
Mfg,
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mi 05.01.2005 | | Autor: | taura |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe hier folgende Funktion f: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> x [mm]\mapsto \bruch{1}{1+ e^{x}}
[/mm]
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> Ich soll zeigen, dass soie gleichmäüßig stetig ist.
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> Ich weiß, dass gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass
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> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] M [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] M:
> (|x-y| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-f(y)|< [mm]\varepsilon)
[/mm]
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> gilt. D.h. dass das [mm]\delta[/mm] nicht von x [mm]\in[/mm] M abhängen
> darf. Mir fällt es aber schwer, das passende [mm]\varepsilon[/mm]
> zu finden für diese Funktion, sodass ich nicht genau weiß,
> wie ich hier vorgehen soll.
Vorsicht: du sollst nicht [mm]\varepsilon[/mm] finden, sondern [mm]\delta[/mm], und zwar so dass deine obige Aussage immer stimmt, d.h. du setzt in [mm]|f(x)-f(y)|< \varepsilon[/mm] für f(x) und f(y) deine Funktion an den Stellen x und y ein und formst solange um bis du nacher eine Ungleichung der folgenden Gestalt dastehen hast: [mm] |x-y|< [/mm]Term in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon[/mm]. Diesem Term setzt du dann dein [mm] \delta [/mm] gleich und kannst dann folgern dass deine obige Aussage stimmt.
> Ich bitte um einige Tipps.
> Mfg,
> Jakob
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Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß Biggi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 05.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
ich habe die Tipssbefolgt und meine Funktion eingesetzt. Nun steht da:
[mm] \bruch{ e^{y}- e^{x}}{1+ e^{y}+ e^{x}+ e^{x+y}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich als nächsten schritt nach x und y auflösen soll, so dass dann |x-y| < Term in Abh. von [mm] \varepsilon [/mm] da steht.
Ich bitte im weitere hilfreiche Hinweise.
Danke,
Mfg, Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:41 Do 06.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jakob,
also, bei dir gelte mal o.B.d.A. $y [mm] \ge [/mm] x$, und wir nehmen an, es sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben.
Dann weißt du (wenn $f: [mm] \IR \to \IR$, $f(s)=\frac{1}{1+e^s}$):
[/mm]
[mm]|f(y)-f(x)|=\left|\frac{1}{1+e^y}-\frac{1}{1+e^x}\right|=\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^y}=\frac{e^y-e^x}{1+e^x+e^y+e^{x+y}}[/mm]
[mm]\stackrel{da\;exp(r)>0\; \forall \;r\in\IR}{\le} \frac{e^y-e^x}{e^x} = \frac{e^x(e^{y-x}-1)}{e^x} = e^{y-x}-1[/mm]
Setzen wir nun [m]\delta:=ln\left(1+\frac{\varepsilon}{2}\right)[/m], so hängt [mm] $\delta$ [/mm] nur von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ab. Ferner gilt mit dieser Wahl, da $ln$ streng monoton wachsend ist und da [m]ln(1)=0[/m] ist, auch [mm] $\delta [/mm] > 0$.
Weiter gilt wegen obiger Abschätzung (und weil $exp$ monoton wachsend) für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [m]|y-x|\le \delta[/m]:
[mm]|f(x)-f(y)|\le e^{\delta}-1=1+\frac{\varepsilon}{2}-1=\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon[/mm]
Da [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig war, folgt die Behauptung.
Viele Grüße,
Marcel
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