Gleichmäßige Konvergenz im R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab mal eine Frage zur gleichmäßigen (und punktweisen) Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen. In dem Buch, welches ich gerade lese, sind die Begriffe gleichmäßige und punktweise Konvergenz nur für reelwertige Fkt. einer reelen Variablen erklärt (also R->R). Später kommt aber ein Beweis, in dem diese Definitionen auf Abbildungen von [mm] \IR [/mm] hoch n in [mm] \IR [/mm] hoch m angewendet werden. Leider sind diese Begriffe dafür nie definiert wurden. Meine Frage ist nun, ob diese Definitionen erhalten bleiben.
Z.b. wurde die gleichmäßige Konvergenz so definiert:
"Eine Fkt.-folge (fn) auf D konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Grenzfkt. f auf D, wenn von einem Index n1 an alle Fkt. (fn - f) beschränkt sind und der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel [/mm] fn-f [mm] \parallel [/mm] =0 erfüllt."
(Es gilt dabei [mm] \parallel [/mm] g(x) [mm] \parallel [/mm] = sup |g(x)|.
Es wurde gefolgert:
"Eine Funktionenfolge (fn) auf D konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f auf D, wenn folgendes gilt:
Zu jedem E>0 gibt es einen Index n0, so dass für alle Indizes n>=n0 und alle x Element D gilt: |fn(x) - f(x)|<E"
Über diese Definition wurden dann die üblichen Sätze abgeleitet, dass gleichmäßig konvergente Fkt.-folgen gliedweise differenziert und integriert werden dürfen. Gelten diese Sätze weiterhin?
Meine Frage ist nun, wie man diese Definitionen auf Abbildungen im R hoch n überträgt. Ist das überhaupt möglich bzw. sinnvoll.
Vielleicht kann mir da jemand helfen
Danke auf jeden Fall schonmal
Gruß
Cardmaker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Cardmaker!
Alle Sätze gelten völlig analog für Funktionen [mm] $f:\IR^n \to \IR$, [/mm] das ist völlig richtig. 
Der Begriff macht sogar auch für allgemeine Mengen $X$,metrische Räume $(X',d')$ und Abbildungen $f: X [mm] \to [/mm] (X',d')$ Sinn.
(Auch wenn dort die letzten Sätze für die gliedweise Differentiation und Integration nicht notwendigerweise Sinn machen, es sei denn im Sinne einer Fréchet-Differenzierbarkeit, aber das weiß ich gerade selber nicht.)
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich wollte nur noch mal sicher gehen, dass das stimmt was ich mir dachte. Lassen sich diese Begriffe der gleichmäßigen und punktweisen Konvergenz auch auf ganz allgemeine Funktionen von R hoch n auf R hoch m übertragen? Dann machen sicherlich die Sätze vom gliedweisen Ableiten und Differenzieren keinen Sinn mehr, oder?
Vielen Dank nochmal
Gruß
Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marco!
Erst einmal hatte ich mich in meiner letzten Antwort nicht allgemein genug gehalten, ich habe es jetzt noch einmal verbessert.
Also: Ist $X$ eine beliebige Menge und $(X',d')$ ein metrischer Raum, so heißt eine Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $f_n:X \to [/mm] X'$ $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] gleichmäßig konvergent gegen $f:X [mm] \to [/mm] X'$, wenn es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $d(f_n(x),f(x))<\varepsilon$.
[/mm]
Insbesondere macht der Begriff für Abbildungen von [mm] $\IR^n$ [/mm] in den [mm] $\IR^m$ [/mm] Sinn. Das mit dem gliedweise Differenzieren und Integrieren gilt dann immerhin für die Komponentenfunktionen [mm] $f_i: \IR^n \to \IR$ [/mm] für [mm] $i=1,2,\ldots,m$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Cardmaker |
Hallo Stefan,
vielen vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir wirklich sehr geholfen. Ich hatte nämlich einen Beweis über die Abhängigkeit von Anfangsdaten und Parametern von DGln. gelesen und dort wurde auf die gleichmäßige Konvergenz von Abbildungen von [mm] R^n [/mm] in [mm] R^m [/mm] Bezug genommen, nur dass dies im Buch nie definiert wurde (zumindest nicht für Fkt. mehrerer Veränderlicher). Sowas lässt mir dann auch irgendwie keine Ruhe. Auf jeden Fall vielen Dank nochmal.
Gruß
Marco
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