Gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mo 10.01.2011 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe, in der wir Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen müssen. Die Defintionen habe ich zwar alle vor mir liegen und der Unterschied von pktw. und glm. Konvergenz liegt darin, dass bei der glm. Konvergenz das N, ab dem [mm] |f_{n}(x)-f(x)| \le \varepsilon [/mm] nicht mehr von der Stelle x abhängt.
Nun scheitere ich leider an der Umsetzung:
a) [mm] f_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto nx(1-x)^n [/mm]
b) [mm] f_{n}: [\varepsilon,1] \to\ [/mm] IR, x [mm] \mapsto nx(1-x)^n
[/mm]
n ist immer eine natürliche Zahl
Die Vermutung ist, dass a) pktw. konvergiert gegen f(x)=0 und b) sogar glm.
Wie weise ich aber die pktw. Konvergenz bei a) nach?
Für x=0 und x=1 ist [mm] f_{n}(x)=0 \to [/mm] 0 = f(x)
Aber was ist mit 0<x<1?
Ich müsste den Term doch so abschätzen, dass [mm] f_{n} \to [/mm] 0 geht, dabei kann der Term abh. sein von x. Aber egal wie ich abschätze, ich komme nie darauf.
Hier eine meiner völlig sinnlosen (und vermutlich fehlerbehafteten) "Im-Kreis-Umformerei":
[mm] nx(1-x)^n [/mm] = [mm] e^{ln(nx)+nln(1-x)}=e^{ln(n)+ln(x)+nln(1-x)}=e^{\bruch{ln(n)}{n}+\bruch{ln(x)}{n}+ln(1-x)}
[/mm]
Zwar würden dann [mm] \bruch{ln(n)}{n}+\bruch{ln(x)}{n} \to [/mm] 0 streben (für n gegen unendlich), aber ich habe immer noch ein ln(1-x). Ich weiß deswegen keine Umformung, mit der ich das ganze gegen 0 streben lassen kann. Kann mir jemand aus der Patsche helfen? Vielleicht ist ja meine ganze Herangehensweise falsch...
Und außerdem würde mich auch interessieren, ob es einen Trick gibt, wie man durch "scharfes Hinsehen" erkennt, ob eine Fkt. glm bzw. pktw. konvergiert und wie man die Folge, gegen die die Fkt.folgen konvergieren, erraten kann.
Vielen Dank!
MfG,
Vivi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vivi,
> Hallo allesamt,
> ich sitze gerade vor einer Aufgabe, in der wir
> Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige
> Konvergenz untersuchen müssen. Die Defintionen habe ich
> zwar alle vor mir liegen und der Unterschied von pktw. und
> glm. Konvergenz liegt darin, dass bei der glm. Konvergenz
> das N, ab dem [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le \varepsilon[/mm] nicht mehr
> von der Stelle x abhängt.
> Nun scheitere ich leider an der Umsetzung:
>
> a) [mm]f_{n}:[/mm] [0,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto nx(1-x)^n[/mm]
> b) [mm]f_{n}: [\varepsilon,1] \to\[/mm] IR, x [mm]\mapsto nx(1-x)^n[/mm]
> n
> ist immer eine natürliche Zahl
>
> Die Vermutung ist, dass a) pktw. konvergiert gegen f(x)=0
> und b) sogar glm.
>
> Wie weise ich aber die pktw. Konvergenz bei a) nach?
> Für x=0 und x=1 ist [mm]f_{n}(x)=0 \to[/mm] 0 = f(x)
> Aber was ist mit 0<x<1?
> Ich müsste den Term doch so abschätzen, dass [mm]f_{n} \to[/mm] 0
> geht, dabei kann der Term abh. sein von x. Aber egal wie
> ich abschätze, ich komme nie darauf.
>
> Hier eine meiner völlig sinnlosen (und vermutlich
> fehlerbehafteten) "Im-Kreis-Umformerei":
>
> [mm]nx(1-x)^n[/mm] =
> [mm]e^{ln(nx)+nln(1-x)}=e^{ln(n)+ln(x)+nln(1-x)}=e^{\bruch{ln(n)}{n}+\bruch{ln(x)}{n}+ln(1-x)}[/mm]
>
> Zwar würden dann [mm]\bruch{ln(n)}{n}+\bruch{ln(x)}{n} \to[/mm] 0
> streben (für n gegen unendlich), aber ich habe immer noch
> ein ln(1-x). Ich weiß deswegen keine Umformung, mit der
> ich das ganze gegen 0 streben lassen kann. Kann mir jemand
> aus der Patsche helfen? Vielleicht ist ja meine ganze
> Herangehensweise falsch...
> Und außerdem würde mich auch interessieren, ob es einen
> Trick gibt, wie man durch "scharfes Hinsehen" erkennt, ob
> eine Fkt. glm bzw. pktw. konvergiert und wie man die Folge,
> gegen die die Fkt.folgen konvergieren, erraten kann.
>
> Vielen Dank!
> MfG,
> Vivi
erstmal: Wenn [mm] $f_n \to [/mm] f$ punktweise und man sich fragt, ob auch [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig gilt, dann kann man das überprüfen, indem man schaut, ob
[mm] $$\text{sup}\{|f(x)-f_n(x)|: x \in D_f=D_{f_n}\} \to 0\;\;\;(n \to \infty)$$ [/mm]
gilt.
Nun zu Deiner Aufgabe oben:
Wir schauen mal, ob [mm] $f_n(x)-f(x)=f_n(x)-0 \to [/mm] 0$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt.
Dazu mache ich hier einen "Trick" (es bedarf gewisser Kontrollen, ob (alle bis auf endlich viele) [mm] $f_n$ [/mm] und auch das [mm] $f=f_\varepsilon: [\varepsilon,1] \to \IR\,$ [/mm] mit [mm] $f_\varepsilon(x) :\equiv [/mm] 0$ entsprechende Voraussetzungen haben) - dieser wird mir bei dieser Aufgabe hier in wundersamer Weise beim Beantworten der Fragen helfen:
Ich betrachte die [mm] $g_n:=f_n-f\,,$ [/mm] hier also [mm] $g_n:=f_n-0=f_n\,.$ [/mm] Nun gilt doch sicherlich [mm] $g_n(0)=g_n(1)=0\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ und zudem für alle $x [mm] \in (0,1)\,,$ [/mm] dass
[mm] $$g_n'(x)=n(1-x)^n+nxn(1-x)^{n-1}*(-1)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw g_n'(x)=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)\,.$$
[/mm]
Jetzt denke halt mal über Extremstellen von [mm] $g_n=f_n-f_\varepsilon$ [/mm] nach. Dann sieht man, dass [mm] $f_n \to f_\varepsilon$ [/mm] gleichmäßig (und damit auch punktweise) mit [mm] $f_\varepsilon(x)=0\,$ [/mm] auf [mm] $[\varepsilon,1]$ [/mm] für jedes $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ gilt - genauer: Mache Dir unbedingt mal klar, wie die [mm] $g_n=f_n-0$ [/mm] (stückweise) verlaufen (links vom Maximum und rechts vom Maximum) und wie man das globale Maximum für [mm] $g_n$ ($\ge [/mm] 0$) angeben kann.
(Beachte auch: Hier gilt [mm] $f_n-f=|f_n-f|\,.$)
[/mm]
Danach überlegt man sich:
Es ist aus obiger Überlegung klar, dass [mm] $f_n(x) \to [/mm] 0$ für alle $0 < x [mm] \le [/mm] 1$ (punktweise) gilt. (Fast) Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig und gäbe es ein [mm] $\tilde{f}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] so, dass [mm] $f_n \to \tilde{f}$ [/mm] gleichmäßig auf [mm] $[0,1]\,,$ [/mm] so besagt ein Satz aus der Analysis, dass dann auch [mm] $\tilde{f}$ [/mm] stetig (insbesondere an der Stelle [mm] $0\,$) [/mm] sein müsste. Also kann nur (in notwendiger Weise) [mm] $\tilde{f}(x)=0$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] gelten, wenn die [mm] $f_n\,$ [/mm] gleichmäßig auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] konvergieren.
(Achja, viel einfacher wäre es gewesen: Wenn [mm] $f_n\,$ [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, dann muss in notwendiger Weise die "Grenzfunktion im Sinne der glm. Konvergenz" mit der punktweisen übereinstimmen. Wegen [mm] $f_n(0)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ muss daher die "Grenzfunktion im Sinne der glm. Konvergenz" an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] den Funktionswert [mm] $0\,$ [/mm] haben - und an allen anderen Stellen aus [mm] $(0,1]\,$ [/mm] wegen des vorangegangenen Teils auch. Anderes Argument, selbes Resultat!)
Aber man sieht, dass für
[mm] $$x=x_n=\frac{1}{n+1}$$
[/mm]
sicherlich gilt
[mm] $$g_n(x_n)=|f_n(x_n)-\tilde{f}(x_n)|=f_n(x_n)=\ldots \to 1*\frac{1}{e}=1/e\,.$$
[/mm]
Also?
P.S.:
Natürlich hast Du da noch Ergänzungen durchzuführen, insbesondere die letzte Rechnung. Wenn Du Zweifel haben solltest:
Plotte mal $y=1/e$ und [mm] $f_1,\ldots,f_{10}$ [/mm] und betrachte mal die [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_n=1/(n+1)$ [/mm] für [mm] $n=1,\ldots,\,10\,.$
[/mm]
P.P.S.:
Oben gilt natürlich, weil alle [mm] $x_n=\frac{1}{n+1} \in [/mm] (0,1) [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$ sind
[mm] $$\text{sup}\{|f(x)-f_n(x)|: x \in [0,1]\} \ge |f_n(x_n)| \to [/mm] ???$$
und daher ???
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 11.01.2011 | | Autor: | vivi |
Hi Marcel,
erst einmal vielen Dank für deine Erklärungen!
> > [mm]\text{sup}\{|f(x)-f_n(x)|: x \in D_f=D_{f_n}\} \to 0\;\;\;(n \to \infty)[/mm]
>
> Nun zu Deiner Aufgabe oben:
> Wir schauen mal, ob [mm]f_n(x)-f(x)=f_n(x)-0 \to 0[/mm] für alle
> [mm]x\,[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm] gilt.
>
> Dazu mache ich hier einen "Trick" (es bedarf gewisser
> Kontrollen, ob (alle bis auf endlich viele) [mm]f_n[/mm] und auch
> das [mm]f=f_\varepsilon: [\varepsilon,1] \to \IR\,[/mm] mit
> [mm]f_\varepsilon(x) :\equiv 0[/mm] entsprechende Voraussetzungen
> haben) - dieser wird mir bei dieser Aufgabe hier in
> wundersamer Weise beim Beantworten der Fragen helfen:
> Ich betrachte die [mm]g_n:=f_n-f\,,[/mm] hier also
> [mm]g_n:=f_n-0=f_n\,.[/mm] Nun gilt doch sicherlich
> [mm]g_n(0)=g_n(1)=0\,[/mm] für alle [mm]n \ge 1[/mm] und zudem für alle [mm]x \in (0,1)\,,[/mm]
> dass
> [mm]g_n'(x)=n(1-x)^n+nxn(1-x)^{n-1}*(-1)[/mm]
> [mm]\gdw g_n'(x)=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)\,.[/mm]
>
> Jetzt denke halt mal über Extremstellen von
> [mm]g_n=f_n-f_\varepsilon[/mm] nach. Dann sieht man, dass [mm]f_n \to f_\varepsilon[/mm]
> gleichmäßig (und damit auch punktweise) mit
> [mm]f_\varepsilon(x)=0\,[/mm] auf [mm][\varepsilon,1][/mm] für jedes [mm]0 < \varepsilon < 1[/mm]
> gilt - genauer: Mache Dir unbedingt mal klar, wie die
> [mm]g_n=f_n-0[/mm] (stückweise) verlaufen (links vom Maximum und
> rechts vom Maximum) und wie man das globale Maximum für
> [mm]g_n[/mm] ([mm]\ge 0[/mm]) angeben kann.
> (Beachte auch: Hier gilt [mm]f_n-f=|f_n-f|\,.[/mm])
Das Problem bei den Extremstellen ist jetzt, dass wir Ableitungen noch nicht verwenden dürfen, zumindest hat unser Tutor das gesagt, weil wir von der Vorlesung her noch nicht so weit sind...Gibt es vielleicht eine andere Möglichkeit?
Die Ableitung von g([mm]\bruch{1}_{1+n}[/mm]) = 0, d.h. Extrema wären bei [mm]x=\bruch{1}_{1+n}[/mm], oder? Aber wie schließe ich daraus jetzt auf pktw. (und sogar gleichmäßige) Konvergenz bei der a) wie du sagtest? Desweiteren wollte ich fragen, ob es sich bei [mm] f_\varepsilon [/mm] um die Funktion aus b) handelt oder um die Nullfunktion?
> Aber man sieht, dass für
> [mm]x=x_n=\frac{1}{n+1}[/mm]
> sicherlich gilt
> [mm]g_n(x_n)=|f_n(x_n)-\tilde{f}(x_n)|=f_n(x_n)=\ldots \to 1*\frac{1}{e}=1/e\,.[/mm]
>
> Also?
>
> P.S.:
> Natürlich hast Du da noch Ergänzungen durchzuführen,
> insbesondere die letzte Rechnung. Wenn Du Zweifel haben
> solltest:
> Plotte mal [mm]y=1/e[/mm] und [mm]f_1,\ldots,f_{10}[/mm] und betrachte mal
> die [mm]f_n[/mm] an der Stelle [mm]x_n=1/(n+1)[/mm] für [mm]n=1,\ldots,\,10\,.[/mm]
>
Geplottet erkenne ich, dass die Hochpunkte immer größere Werte annehmen, das würde ja heißen, dass es nicht glm. konvergiert, weil das Supremum von der Differenz wie du bereits gezeigt hast, nicht gegen 0 geht, sondern gegen 1/e. Allerdings verstehe ich immer noch nicht den Nachweis der pktw. Konvergenz von oben...
Viele Grüße,
Vivi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vivi,
> Hi Marcel,
>
> erst einmal vielen Dank für deine Erklärungen!
gerne. Aber bitte stelle beantwortete Fragen nicht auf unbeantwortet um. Einfach weiterfragen, die neuen Fragen werden dann beantwortet. Eine Statusänderung macht nur Sinn, wenn die Frage entweder gar nicht wirklich beantwortet wurde, oder aber nur teilweise beantwortet worden ist.
> > > [mm]\text{sup}\{|f(x)-f_n(x)|: x \in D_f=D_{f_n}\} \to 0\;\;\;(n \to \infty)[/mm]
> >
> > Nun zu Deiner Aufgabe oben:
> > Wir schauen mal, ob [mm]f_n(x)-f(x)=f_n(x)-0 \to 0[/mm] für
> alle
> > [mm]x\,[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm] gilt.
> >
> > Dazu mache ich hier einen "Trick" (es bedarf gewisser
> > Kontrollen, ob (alle bis auf endlich viele) [mm]f_n[/mm] und auch
> > das [mm]f=f_\varepsilon: [\varepsilon,1] \to \IR\,[/mm] mit
> > [mm]f_\varepsilon(x) :\equiv 0[/mm] entsprechende Voraussetzungen
> > haben) - dieser wird mir bei dieser Aufgabe hier in
> > wundersamer Weise beim Beantworten der Fragen helfen:
> > Ich betrachte die [mm]g_n:=f_n-f\,,[/mm] hier also
> > [mm]g_n:=f_n-0=f_n\,.[/mm] Nun gilt doch sicherlich
> > [mm]g_n(0)=g_n(1)=0\,[/mm] für alle [mm]n \ge 1[/mm] und zudem für alle [mm]x \in (0,1)\,,[/mm]
> > dass
> > [mm]g_n'(x)=n(1-x)^n+nxn(1-x)^{n-1}*(-1)[/mm]
> > [mm]\gdw g_n'(x)=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)\,.[/mm]
> >
> > Jetzt denke halt mal über Extremstellen von
> > [mm]g_n=f_n-f_\varepsilon[/mm] nach. Dann sieht man, dass [mm]f_n \to f_\varepsilon[/mm]
> > gleichmäßig (und damit auch punktweise) mit
> > [mm]f_\varepsilon(x)=0\,[/mm] auf [mm][\varepsilon,1][/mm] für jedes [mm]0 < \varepsilon < 1[/mm]
> > gilt - genauer: Mache Dir unbedingt mal klar, wie die
> > [mm]g_n=f_n-0[/mm] (stückweise) verlaufen (links vom Maximum und
> > rechts vom Maximum) und wie man das globale Maximum für
> > [mm]g_n[/mm] ([mm]\ge 0[/mm]) angeben kann.
> > (Beachte auch: Hier gilt [mm]f_n-f=|f_n-f|\,.[/mm])
>
> Das Problem bei den Extremstellen ist jetzt, dass wir
> Ableitungen noch nicht verwenden dürfen, zumindest hat
> unser Tutor das gesagt, weil wir von der Vorlesung her noch
> nicht so weit sind...Gibt es vielleicht eine andere
> Möglichkeit?
Ja. Man kann doch durchaus "von Hand" nachrechnen, wie das Maximum der [mm] $f_n$ [/mm] für alle genügend große [mm] $n\,$ [/mm] aussieht. Dass man diese Idee aus den vorangegangenen Überlegungen mit Mitteln, die man eigentlich noch nicht benutzen darf, gewonnen hat, muss man ja niemanden auf die Nase binden. So kannst Du, wenn $1 > [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest ist, doch für alle genügend großen [mm] $n\,$ [/mm] (das musst Du präzisieren, was das genau heißt oder warum das gilt!!) einfach erstmal behaupten, dass
[mm] $$|f_n(x)-f_\varepsilon(x)| \le f_n(\varepsilon)$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [\varepsilon,1]$ [/mm] gilt. Dass dem auch wirklich so ist, kannst Du ja mal versuchen, nachzuweisen. (Alleine durch Abschätzungen - die dürft ihr sicher benutzen.)
Dabei ist [mm] $f_\varepsilon$ [/mm] die Nullfunktion eingeschränkt auf [mm] $[\varepsilon,1]\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$f_\varepsilon: [\varepsilon,1] \to \IR \text{ mit }f_\varepsilon(x):=0 \text{ fuer alle }x \in [\varepsilon,1]\,.$$
[/mm]
Hatte ich das nicht schonmal geschrieben? Naja, egal; ich bin zu faul zum nachgucken. 
Natürlich sollte dann auch noch [mm] $f_n(\varepsilon) \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] nachgewiesen werden.
> Die Ableitung von g([mm]\bruch{1}_{1+n}[/mm]) = 0, d.h. Extrema
> wären bei [mm]x=\bruch{1}_{1+n}[/mm], oder? Aber wie schließe ich
> daraus jetzt auf pktw. (und sogar gleichmäßige)
> Konvergenz bei der a) wie du sagtest?
Ganz so einfach läßt sich das damit noch nicht schließen - aber es führt zu einer Idee, wie es funktionieren sollte (s.o.). Ich wollte eigentlich, dass Du auf die Idee, die nun in dieser Antwort oben steht, alleine kommst. P.S.:
Plotte Dir unbedingt mal die Graphen von ein paar der [mm] $f_n\,,$ [/mm] damit Du auch mal siehst, was da eigentlich passiert.
> Desweiteren wollte
> ich fragen, ob es sich bei [mm]f_\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
um die Funktion
> aus b) handelt oder um die Nullfunktion?
Naja, ich habe halt eigentlich mit $f_n$ immer $f_n: [0,1] \to \IR$ mit der Definition $f_n(x)=nx(1-x)^n$ gemeint, und wenn ich davon rede, dass die $f_n$ glm. gegen $f_\varepsilon$ konvergieren, dann meine ich eigentlich Deine $f_n$'s aus a).
(Um Deine Frage direkt zu beantworten: $f_\varepsilon$ ist, wie nun oben schonmal geschrieben, die auf $[\varepsilon,1]$ definierte Nullfunktion!)
Strenggenommen müsste ich bei meiner Notation dann anstatt der $f_n$ dort die Einschränkungen $\left.{f_n}\right|_{[\varepsilon,1]}$ hinschreiben. Aber normalerweise erkennt man aus dem Kontext, was ich meine. Wenn ich sage, dass die $f_n$ nicht glm. gegen die auf $[0,1]\,$ definierte Nullfunktion konvergieren (gegen die sie aber punktweise konvergieren), so meine ich natürlich die $f_n$ aus b). Und wenn der Aufgabensteller da schon so pingelig unterscheiden wollte, hätte er die $f_n$ aus a) auch besser $f_n^\varepsilon\,,$ oder so ähnlich, bezeichnen sollen, da die $f_n$'s dort ja je nach $\varepsilon$ auch andere sind.
> > Aber man sieht, dass für
> > [mm]x=x_n=\frac{1}{n+1}[/mm]
> > sicherlich gilt
> > [mm]g_n(x_n)=|f_n(x_n)-\tilde{f}(x_n)|=f_n(x_n)=\ldots \to 1*\frac{1}{e}=1/e\,.[/mm]
>
> >
> > Also?
> >
> > P.S.:
> > Natürlich hast Du da noch Ergänzungen durchzuführen,
> > insbesondere die letzte Rechnung. Wenn Du Zweifel haben
> > solltest:
> > Plotte mal [mm]y=1/e[/mm] und [mm]f_1,\ldots,f_{10}[/mm] und betrachte
> mal
> > die [mm]f_n[/mm] an der Stelle [mm]x_n=1/(n+1)[/mm] für [mm]n=1,\ldots,\,10\,.[/mm]
> >
>
> Geplottet erkenne ich, dass die Hochpunkte immer größere
> Werte annehmen,
Ja. Genauer: Die "y-Werte" an den Stellen [mm] $x_n=1/(n+1)$ [/mm] (der auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definierten [mm] $f_n$'s) [/mm] streben gegen $1/e > [mm] 0\,.$ [/mm]
> das würde ja heißen, dass es nicht glm.
> konvergiert, weil das Supremum von der Differenz wie du
> bereits gezeigt hast, nicht gegen 0 geht, sondern gegen
> 1/e. Allerdings verstehe ich immer noch nicht den Nachweis
> der pktw. Konvergenz von oben...
Der Teil, den Du nicht verstehst, sollte Dir eigentlich schon zeigen, dass für jedes $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ sicher
[mm] $$\sup\{|f_n(x)|: x \in [\varepsilon,1]\} \to 0\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
gilt. Daher konvergieren die [mm] $f_n$ [/mm] auf [mm] $[\varepsilon,1]$ [/mm] gleichmäßig gegen die auf [mm] $[\varepsilon,1]$ [/mm] definierte Nullfunktion, insbesondere punktweise.
Ferner konvergieren sie auch auf $(0,1]$ punktweise gegen die Nullfunktion, denn für $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ betrachte ich dazu einfach die [mm] $f_n$ [/mm] (eingeschränkt) auf [mm] $(x/2,\;1]$ [/mm] und benutze das vorangegangene Ergebnis.
Dass die [mm] $f_n$ [/mm] somit, wenn sie auch auf $[0,1]$ glm. konvergent wären, dann dort nur gegen die auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definierte Nullfunktion konvergieren könnten, habe ich ja schonmal begründet (sogar auf 2 Arten).
Der Rest geht nun genauso, nur verschweigst Du halt, wie Du die [mm] $x_n$ [/mm] gewonnen hast:
Wäre als [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gleichmäßig konvergent auf [mm] $[0,1]\,,$ [/mm] dann müsste
[mm] $$\sup\{|f_n(x)-0|: x \in [0,1]\}=\sup\{f_n(x): x \in [0,1]\} \to 0\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
gelten.
Nun kommt der Trick bzw. die Verschleierung: Wir sagen nicht, warum wir die [mm] $x_n$ [/mm] so wählen, wie wir sie wählen, sondern wählen sie einfach und stellen fest:
Für jedes natürlich [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $$x_n:=1/(n+1) \in [0,1]\,.$$
[/mm]
Also ist für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] somit
[mm] $$\{x_n\} \subseteq [0,1]\,,$$
[/mm]
was zur Konsequenz hat, dass für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] daher
[mm] $$(\star)\;\;\;\sup\{f_n(x): x \in [0,1]\} \ge \sup\{f_n(x): x \in \{x_n\}\}=f_n(x_n)\,,$$
[/mm]
(wenn man das Supremum über "eine kleinere Menge" bildet, wird es mit Sicherheit nicht größer!) und wenn Du nun zeigst, dass
[mm] $$f_n(x_n) \to 1/e\,,$$
[/mm]
so ist das (von [mm] $n\,$ [/mm] abhängige) Supremum in [mm] $(\star)$, [/mm] für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] linkerhand sicher auch [mm] $\ge 1/e\,,$ [/mm] und wegen $1/e > 0$ können diese von [mm] $n\,$ [/mm] abhängigen Suprema dann bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] nicht gegen [mm] $0\,$ [/mm] gehen. Damit kann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] nicht glm. gegen die auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definierte Nullfunktion konvergieren - welche aber wegen der Vorüberlegung die "einzige potentielle glm. Grenzfunktion" war.
P.P.S.:
Bitte versuche mal, nur das wesentliche hier nun herauszufiltern und den Beweis selbst zu führen (eigenständig sortieren und aufschreiben!). Das einzige, was hier fehlt (aber durchaus auch wesentlich und nicht banal ist), ist, dass die [mm] $f_n$'s, [/mm] wenn wir sie auf [mm] $[\varepsilon,1]$ [/mm] betrachten, ab einem genügend großen [mm] $N=N(\varepsilon)$ [/mm] durch [mm] $|f(\varepsilon)|=f(\varepsilon)$ [/mm] beschränkt sind, und dass [mm] $f_n(\varepsilon) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
nicht weiter kommst:
1.) Aus der Rechnung mit "unzulässigen Hilfsmitteln" haben wir erfahren, dass die [mm] $f_n$ [/mm] an den Stellen [mm] $x_n:=1/(n+1)$ [/mm] ihr Maximum annehmen. Auf [mm] $[0,x_n]$ [/mm] ist [mm] $f_n$ [/mm] wachsend, auf [mm] $[x_n,1]$ [/mm] fällt es. Diese Kenntniss brauchen wir im Folgenden nicht, dient aber dazu, wie man auf die Beweisidee kommt.
2.) Wir sehen nämlich, dass die "Maximalstellen" gegen [mm] $0\,$ [/mm] streben, wenn [mm] $n\,$ [/mm] wächst. Daraus erkennt man folgendes:
Ist $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] so ist sicherlich ab einem gewissen [mm] $N=N(\varepsilon)$ [/mm] die Maximalstelle, wenn wir die [mm] $f_n$ [/mm] (für $n [mm] \ge [/mm] N$) auf $[0,1]$ betrachten, links des Intervalls [mm] $[\varepsilon,1]\,,$ [/mm] also innerhalb des Intervalls [mm] $[0,\varepsilon)\,.$ [/mm] Also sind - für $n [mm] \ge [/mm] N$ - sicherlich die [mm] $f_n$, [/mm] wenn wir sie auf [mm] $[\varepsilon,1]$ [/mm] betrachten, dort monoton fallend. Insbesondere wird [mm] $f_n(\varepsilon) \ge f_n(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [\varepsilon,1]$ [/mm] und alle $n [mm] \ge N\,$ [/mm] gelten.
Diese Überlegungen machen wir uns nun zu Nutze, um den Beweis aufzuschreiben:
Sei $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
a.) Präzision des [mm] $N\,:$
[/mm]
Wir finden sicher ein natürliches [mm] $N=N(\varepsilon)\,$ [/mm] so, dass $0 < [mm] \frac{1}{N+1} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Sei also [mm] $N\,$ [/mm] so gewählt. (Die Idee dieser Wahl hat sowohl mit 1.) als auch mit 2.) zu tun, aber das braucht ja keiner extra auf die Nase gebunden bekommen. Wir wählen das halt so - es fällt quasi vom Himmel - und schauen, was wir damit machen können!)
b) Wir behaupten: Für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle [mm] $\varepsilon \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ gilt dann:
[mm] $$f_n(x) \le f_n(\varepsilon)\,.$$
[/mm]
Da wir momentan auch nicht den Hauch einer Idee haben, wie wir das beweisen können, formen wir mal ein wenig um:
[mm] $$f_n(x) \le f_n(\varepsilon)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw nx(1-x)^n \le [/mm] n [mm] \varepsilon (1-\varepsilon)^n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\star \star)\;\;\;\frac{x}{\varepsilon} \le \left(\frac{1-\varepsilon}{1-x}\right)^n\,.$$
[/mm]
Naja, ich bin gerade ein wenig blind und sehe immer noch nicht, warum die letzte Ungleichung für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ gelten sollte. Das kann man sich sicher auch noch (kurz?) überlegen.
Was jedenfalls klar ist:
Die Ungleichung [mm] $(\star \star)$ [/mm] ist für [mm] $x=\varepsilon$ [/mm] trivial.
Aber das ist noch weiterzudenken...
Gruß,
Marcel
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