Gleichmässige Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 01.05.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei f: [mm] B_r(0) \to \IC [/mm] und [mm] f_n [/mm] := [mm] f(\bruch{n-1}{n}*z)
[/mm]
Zeige, dass [mm] f_n [/mm] gleichmässig gegen f konvergiert. |
Per Definition der gleichmässigen Konvergenz muss ja folgendes gelten:
[mm] \forall \varepsilon \exists \delta [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] x (|x - [mm] \bruch{n-1}{n}*x| [/mm] < [mm] \delta) \Rightarrow(|f(x) [/mm] - [mm] f_n(x) [/mm] | < [mm] \varepsilon)
[/mm]
also
[mm] \forall \varepsilon \exists \delta [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] x (|x - [mm] \bruch{n-1}{n}*x| [/mm] < [mm] \delta) \Rightarrow(|f(x) [/mm] - [mm] f(\bruch{n-1}{n}*x) [/mm] | < [mm] \varepsilon)
[/mm]
Aber von hier an sehe ich gerade nicht weiter, wie dies gezeigt werden könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f: [mm]B_r(0) \to \IC[/mm]
Da fehlt sicher noch eine Voraussetzung, etwa das $f$ holomorph ist oder zumindest stetig.
> und [mm]f_n[/mm] := [mm]f(\bruch{n-1}{n}*z)[/mm]
> Zeige, dass [mm]f_n[/mm] gleichmässig gegen f konvergiert.
> Per Definition der gleichmässigen Konvergenz muss ja
> folgendes gelten:
>
> [mm]\forall \varepsilon \exists \delta[/mm] so dass [mm]\forall[/mm] x (|x -
> [mm]\bruch{n-1}{n}*x|[/mm] < [mm]\delta) \Rightarrow(|f(x)[/mm] - [mm]f_n(x)[/mm] | <
> [mm]\varepsilon)[/mm]
Da hast du aber eine sehr eigenwillige Definition von gleichmaessiger Konvergenz. Kann es sein dass du da etwas mit gleichmaessiger Stetigkeit verwechselst?
![[]](/images/popup.gif) Normalerweise definiert man: [mm] $f_n$ [/mm] konvergiert gleichmaessig gegen $f$ [mm] $:\Longleftrightarrow$ $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in B_r(0) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : |f(x) - [mm] f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Versuch's mal lieber damit.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 02.05.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo
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> Da fehlt sicher noch eine Voraussetzung, etwa das [mm]f[/mm]
> holomorph ist oder zumindest stetig.
Ja genau, f ist holomorph und deshalb auch stetig.
>
> Da hast du aber eine sehr eigenwillige Definition von
> gleichmaessiger Konvergenz. Kann es sein dass du da etwas
> mit gleichmaessiger Stetigkeit verwechselst?
>
> Normalerweise
> definiert man: [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmaessig gegen [mm]f[/mm]
> [mm]:\Longleftrightarrow[/mm] [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \IN \forall x \in B_r(0) \forall n \ge N : |f(x) - f_n(x)| < \varepsilon[/mm].
Ja genau, sorry, habs gerade falsch im Kopf gehabt.
Also kann man auch folgende Aussage brauchen:
[mm] f_n [/mm] gleichmässig konvergent gegen f [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} sup|f-f_n| [/mm] = 0.
Da f, [mm] f_n [/mm] und die Betragsfunktion stetig sind, folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup|f-f_n| [/mm] = sup |f - lim [mm] f_n| [/mm] = sup |f - f| = 0.
Kann ich dies so zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Da fehlt sicher noch eine Voraussetzung, etwa das [mm]f[/mm]
> > holomorph ist oder zumindest stetig.
>
> Ja genau, f ist holomorph und deshalb auch stetig.
Gut :)
> > Da hast du aber eine sehr eigenwillige Definition von
> > gleichmaessiger Konvergenz. Kann es sein dass du da etwas
> > mit gleichmaessiger Stetigkeit verwechselst?
> >
> >
> Normalerweise
> > definiert man: [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmaessig gegen [mm]f[/mm]
> > [mm]:\Longleftrightarrow[/mm] [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \IN \forall x \in B_r(0) \forall n \ge N : |f(x) - f_n(x)| < \varepsilon[/mm].
>
> Ja genau, sorry, habs gerade falsch im Kopf gehabt.
> Also kann man auch folgende Aussage brauchen:
>
> [mm]f_n[/mm] gleichmässig konvergent gegen f [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} sup|f-f_n| = 0[/mm].
Genau, das ist aequivalent dazu.
> Da f, [mm]f_n[/mm] und die Betragsfunktion stetig sind, folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup|f-f_n|[/mm] = sup |f - lim [mm]f_n|[/mm]
> = sup |f - f| = 0.
Du kannst zwar den Limes in die Betragsfunktion ziehen, aber nicht in das Supremum!
Ich bin allerdings mit der Aufgabenstellung immer noch nicht so ganz gluecklich. Kann es sein, dass $f$ als beschraenkt vorausgesetzt wird? Ansonsten schau dir folgende Funktion an: $f(z) = [mm] \frac{1}{1 - z}$, [/mm] definiert auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] (diese hat einen Pol bei 1). Die Funktion [mm] $f(\frac{n}{n + 1} [/mm] z) : [mm] B_1(0) \to \IC$ [/mm] ist allerdings immer beschraenkt, womit [mm] $\sup|f [/mm] - [mm] f_n| [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist fuer jedes $n$.
Falls $f$ stetig auf [mm] $\overline{B_r(0)}$ [/mm] sein soll folgt uebrigens, dass $f$ beschraenkt ist. Also falls das vorausgesetzt wird reicht das auch aus :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 03.05.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo
>
> Falls [mm]f[/mm] stetig auf [mm]\overline{B_r(0)}[/mm] sein soll folgt
> uebrigens, dass [mm]f[/mm] beschraenkt ist. Also falls das
> vorausgesetzt wird reicht das auch aus :)
>
Ja genau, dies habe ich leider übersehen. f: [mm] \overline{B_r(0)} \to \IC.
[/mm]
Sorry für diese Umständlichkeiten.
Aber so kann ich ja den Limes immer noch nicht in den Supremum hineinziehen...
Wie kann ich denn sonst noch vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> >
> > Falls [mm]f[/mm] stetig auf [mm]\overline{B_r(0)}[/mm] sein soll folgt
> > uebrigens, dass [mm]f[/mm] beschraenkt ist. Also falls das
> > vorausgesetzt wird reicht das auch aus :)
> >
>
> Ja genau, dies habe ich leider übersehen. f:
> [mm]\overline{B_r(0)} \to \IC.[/mm]
> Sorry für diese
> Umständlichkeiten.
Kein Problem :)
> Aber so kann ich ja den Limes immer noch nicht in den
> Supremum hineinziehen...
Nein, das geht nicht.
> Wie kann ich denn sonst noch vorgehen?
Sei ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben.
Zu jedem $a [mm] \in \overline{B_r(0)}$ [/mm] gibt es nun eine Umgebung [mm] $U_a$ [/mm] so, dass fuer alle $z [mm] \in U_a$ [/mm] gilt $|f(z) - f(a)| < [mm] \varepsilon/2$. [/mm] Insbesondere gilt also fuer alle $z, z' [mm] \in U_a$, [/mm] dass $|f(z) - f(z')| < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
So. Jetzt musst du eine endliche Menge solcher Umgebungen waehlen und ein gross genuges $N$ so, dass fuer jedes $n [mm] \ge [/mm] N$ und jedes $z [mm] \in \overline{B_r(0)}$ [/mm] es mindestens eine Umgebung (aus der endlichen Auswahl die du getroffen hast) gibt so, dass sowohl $z$ als auch [mm] $\frac{n}{n + 1} [/mm] z$ drinnen liegt. In dem Fall gilt dann $|f(z) - [mm] f_n(z)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wie du jetzt diese endliche Menge und $N$ auswaehlst musst du selber rausfinden. Ich geb dir allerdings einen Tipp: [mm] $\overline{B_r(0)}$ [/mm] ist kompakt. Das musst du benutzen. (Vielleicht musst du das [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] oben auch durch [mm] $\varepsilon/4$ [/mm] oder noch kleiner ersetzen, um das hinzubekommen. Das ueberlasse ich dir...)
LG Felix
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