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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{1}^{\pi}{\bruch{(sin(\bruch{x}{n}))^{2}}{1-e^{-xn}} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten mit der Musterlösung zu dieser Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Soweit ist das klar und kein Problem.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich frage mich wie die hier darauf kommen, dass der Sinus streng monoton fallend ist? Kann mir das jemand erklären? Bei meiner eigenen Rechnung hatte ich den Sinus oben mit 1 abgeschätzt und den Nenner genauso, aber damit komme ich ja dann auf den Limes von 1. Meine Abschätzung wird nicht genau genug gewesen sein, aber trotzdem verstehe ich die Erklärung aus der MuLö nicht.
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 12.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{1}^{\pi}{\bruch{(sin(\bruch{x}{n}))^{2}}{1-e^{-xn}} dx}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe Schwierigkeiten mit der Musterlösung zu dieser
> Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Soweit ist das klar und kein Problem.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ich frage mich wie die hier darauf kommen, dass der Sinus
> streng monoton fallend ist? Kann mir das jemand erklären?
> Bei meiner eigenen Rechnung hatte ich den Sinus oben mit 1
> abgeschätzt und den Nenner genauso, aber damit komme ich ja
> dann auf den Limes von 1. Meine Abschätzung wird nicht
> genau genug gewesen sein, aber trotzdem verstehe ich die
> Erklärung aus der MuLö nicht.
>
> ciao, Simon.
Hallo, ich kann keine umfassende Antwort geben, nur eine Vermutung. Wahrscheinlich ist gemeint, dass die Funktion in dem uns interessierenden Intervall monoton wachsend ist.
Die Standard-Sinusfunktion hat die kleinste Periode [mm] 2\pi, [/mm] die Funktion [mm] \sin\bruch{x}{n} [/mm] hat die kleinste Periode [mm] 2*n*\pi.
[/mm]
Für ausreichend große n ergeben sich damit sehr lange Intervalle, in denen die Funktion monoton wachsend ist.
Vielleicht bringt dich diese Überlegung weiter.
Gruß Abakus
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Müsste das Maximum dann aber nicht bei [mm] \pi [/mm] sein und nicht bei [mm] \pi/2 [/mm] wie in der Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Müsste das Maximum dann aber nicht bei [mm]\pi[/mm] sein und nicht
> bei [mm]\pi/2[/mm] wie in der Lösung?
das macht schon eher Sinn, jedenfalls für $n [mm] \ge [/mm] 2$. Für $n=1$ steht da ja schon in der MuLö, ehrlich gesagt, Unsinn, denn dann ist die Funktion auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] weder streng monoton wachsend noch fallend; nimmt aber auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] ihr Maximum an der Stelle [mm] $x=\pi/2$ [/mm] an.
Du musst auch nicht unbedingt der MuLö vertrauen, besser ist es, wenn Du Dir selbst Gedanken dazu machst; gegebenenfalls prüft man die Behauptungen einfach anhand des Graphen der Funktionen, indem man sich mal die Graphen für (bspw.) $n=1,2,3,..., 10$ plotten läßt.
Wie gesagt:
Für $n=1$ steht da schon grober Unfug in der MuLö, was allerdings nicht besonders schlimm ist, da man sich eh für eine Aussage bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] interessiert...
Also nochmals: Die ganzen Fehler sind "eigentlich" nicht so schlimm, weil, wenn Du in die Musterlösung guckst, erkennen solltest, dass, und diese Wortwahl meinerseits ist Absicht, es hinreichend ist, zu zeigen:
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sup\{\sin^2(x/n);\;x \in [1,\pi]\}=0\,.$$
[/mm]
Und das läßt sich in der Tat eigentlich relativ leicht zeigen (und die MuLö verwerfen wir dazu mal, denn die hat mir für meinen Geschmack zu viele Fehler, was eigentlich bei einer MuLö nicht sein sollte.)
(Nebenbei mal angemerkt: In der MuLö steht, dass man nachweisen muss, dass der Integrand (auf [mm] $[1,\pi]$, [/mm] oder meinetwegen [mm] $]1,\pi[$ [/mm] oder ...) glm. konvergiert. Aber das ist eine hinreichende Bedingung, mache Dir vll. klar bzw. bewußt, dass die Wahl des Wortes "muss" in der MuLö an der Stelle auch schon schlecht ist.)
Weil für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion $x [mm] \mapsto \sin^2(x/n)$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum [mm] $[1,\pi]$ [/mm] ist, nimmt sie auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] ihr Maximum an (mindestens) einer Stelle an. Das Monotonieverhalten der Funktion $x [mm] \mapsto \sin^2(x/n)$, [/mm] auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] erkennt man aber schon mithilfe der Ableitung, welche gerade durch $x [mm] \mapsto \frac{2}{n}\sin(x/n)*\cos(x/n)$ [/mm] gegeben ist (Kettenregel!), und damit können wir uns auch das Monotonieverhalten von $x [mm] \mapsto \sin^2(x/n)$ [/mm] auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] überlegen. Für $n [mm] \in \IN_{> 2}$ [/mm] gilt [mm] $\frac{2}{n} \cos(x/n) [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in [1,\pi]$ [/mm] (es gilt ja hier [mm] $\frac{x}{n} \in \left[\frac{1}{n},\frac{\pi}{n}\right] \subset \left]0,\frac{\pi}{2}\right[$) [/mm] und außerdem gilt [mm] $\sin(x/n) [/mm] > 0$ auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] (notfalls überlege Dir, wieso), was bedeutet, dass $x [mm] \mapsto \sin^2(x/n)$ [/mm] auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] streng monoton wachsend ist.
(Falls Dich meine Notation zusehr verwirren sollte: Setze [mm] $g_n(x)=\sin^2(x/n)$, [/mm] dann ist [mm] $g_n'(x)=\frac{2}{n}\sin(x/n) \cos(x/n)$ [/mm] und mit den obigen Überlegungen folgt, dass [mm] $g_n'(x) [/mm] > 0$ auf [mm] $[1,\pi]$, [/mm] was zur Konsequenz hat, dass [mm] $g_n$ [/mm] auf [mm] $]1,\pi[$ [/mm] streng monoton wachsend ist. Die Stetigkeit von [mm] $g_n$ [/mm] auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] liefert dann, dass [mm] $g_n$ [/mm] "sogar" auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] streng monoton wachsend ist; das erhielte man hier auch etwas "direkter", wenn man anstelle von [mm] $[1,\pi]$ [/mm] ein Intervall [mm] $[1-\varepsilon_1,\pi+\varepsilon_2]$ [/mm] für genügend kleine [mm] $\varepsilon_{1,2} [/mm] > 0$ betrachten würde...)
Genauer können wir daher für $n [mm] \in \IN_{>2}$ [/mm] schreiben:
[mm] $\sup\{\sin^2(x/n):\;x \in [1,\pi]\}=\sin^2(\pi/n)$
[/mm]
(Dass das für $n=2$ auch gilt, kannst Du Dir auch nochmal analog überlegen. Nur die Argumentation mit der strengen Monotonie macht man dabei besser nicht über die Ableitung $x [mm] \mapsto \frac{2}{n} \sin(x/n)\cos(x/n)$, [/mm] weil diese auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] eben nur [mm] $\ge [/mm] 0$ wäre. Eigentlich ist das ganze aber eh uninteressant für kleine $n$, weil wir ja einen [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] betrachten. Bzw. es geht auch mithilfe der Ableitung, aber da muss man ein wenig "aufpassen" und eigentlich ist das nur "unnötige" Arbeit...)
Und nun gilt [mm] $\lim_{n \to \infty}\,\sin^2(\pi/n)=\sin^2\left(\lim_{n \to \infty}\,\frac{\pi}{n}\right)$ [/mm] (Warum?) und wegen [mm] $\sin^2(0)=\sin(0)*\sin(0)=0*0=0$ [/mm] folgt die behauptete Gleichung [mm] $$\lim_{n \to \infty} \sup\{\sin^2(x/n);\;x \in [1,\pi]\}=0\,.$$
[/mm]
Also wenn Du so willst:
Man will zeigen, dass [mm] $f_n(x)=\frac{\sin^2(x/n)}{1-e^{-xn}}$ [/mm] auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] gleichmäßig gegen Null konvergiert (wieso in der MuLö da EINS steht, ist mir ein Rätsel).
Dann kann man ausnutzen, dass, auf [mm] $[1,\pi]$, [/mm] nun
[mm] $1-e^{-xn} \ge 1-\frac{1}{e^n} \ge 1-\frac{1}{e}=:K_1\;\;\mbox{ } [/mm] (>0)$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist und erkennt damit
[mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{K_1}\sin^2(x/n)=:K*\sin^2(x/n)$ [/mm] auf [mm] $[1,\pi]$ [/mm] (also [mm] $K=\frac{1}{K_1} [/mm] > 0$). Damit erkennst Du dann, dass es hinreichend ist, zu zeigen, dass
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sup\{\sin^2(x/n);\;x \in [1,\pi]\}=0\,,$$
[/mm]
und das findest Du oben.
Gruß,
Marcel
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Dank dir. Blitzsaubere Lösung ;)
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