Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 06.06.2015 | | Autor: | emperor |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] f_n [/mm] : [0, 1] [mm] \rightarrow \IN, [/mm] x [mm] \rightarrow f_n(x) [/mm] := [mm] \bruch{nx}{1+n^2x^2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm] {f_n(x)}_n [/mm] auf [0, 1] zwar punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert. |
Hallo,
während ich versucht habe die oben gestellte Aufgabe zu lösen haben sich ein Paar Fragen ergeben die ich selber nicht beantworten kann und ich hoffe das ihr mir vielleicht dabei helfen könnt.
Hier die Definitionen aus unserer Vorlesung für Punkt. Konvergenz und Gl. Konvergenz:
Punktweise Konvergenz: : [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D, [mm] \space \space \exists [/mm] N [mm] \in \IN, \space \forall n\ge [/mm] N: [mm] |f_n(x)-f(x)| \le \epsilon$
[/mm]
Meinte interpretation: Eine Funktinenfolge konvergiert Punktweise gegen eine Grenzfunktion wenn für jedes $x$ in der Definitionsmenge $D$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gefunden werden kann ab dem gilt das [mm] $f_n(x)$ [/mm] in der Epsilon Umgebung liegt.
Gleichmäßige Konvergenz [mm] $\forall \epsilon>0, \space \exists [/mm] N [mm] \in \IN, \space \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D, [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |f_n(x)-f(x)| \le \epsilon$
[/mm]
Meinte Interpretation: Der Unterschied zur Punktweisen Konvergenz ist das hier $N$ nicht mehr von $x$ abhängen darf. Das bedeutet das ich ein $N$ finden muss ab dem für alle $x$ die Funktionenfolge in dem Epsilonschlauch liegt.
Ist das soweit richtig? Wie groß/klein kann man Epsilon wählen. Ich könnte ja Epsilon auch einfach gleich [mm] $10^{100}$ [/mm] wählen und dann wäre meine Funktionenfolge Gleichmäßig Konvergent oder? Wie weiß ich also welchen Wert ich für Epsilon wählen muss?
Ich glaube ich verstehe die Definitionen so einigermaßen aber ich habe keine Ahnung wie ich jetzt nachweise das eine Folge gleichmäßig konvergent ist oder nicht? Gibt es vielleicht irgendwelche allgemeinen Ansätze ähnlich wie das Majorantenkriterium für Reihen?
Angenommen ich möchte die (oben angegebene) Funktionsfolge:
[mm] $$f_n [/mm] : [0, 1] [mm] \rightarrow \IN, [/mm] x [mm] \rightarrow f_n(x) [/mm] := [mm] \bruch{nx}{1+n^2x^2}$$
[/mm]
auf punktweise und gleichmäßige konvergenz untersuchen. Wie gehe ich da vor?
Hier mal ein paar Ansätze die ich mir ausgedacht habe aber ich bin mir nicht sicher ob das überhaupt Sinn macht.
Die Funktionenfolge ist "offensichtlich" punktweise konvergenz da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{nx}{1+n^2x^2}=0$
[/mm]
Für jedes feste $x$ kann ich ein $N$ finden ab dem die Funktionenfolge in der Epsilon-Umgebung bleibt und dann gegen die Grenzfunktion f(x)=0 konvergiert.
Ich weiß nicht ob sowas als gezeigt durchgeht. Wie gehe ich bei der gleichmäßigen Konvergenz vor?
Danke schonmal im Voraus
Liebe Grüße
Emperor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 06.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
[mm] \forall \epsilon> 0\forall x\in(0,1] [/mm] existiert [mm] N(\epsilon,x):=\frac{1}{\epsilon x}, [/mm] s.d. für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $|f_n(x)-f (x)|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}-0|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}|\le|\frac{nx}{n^2x^2}|=|\frac{1}{nx}|<|\frac{1}{Nx}|=\epsilon$.
[/mm]
Für $ x=0$ kann man sehr leicht einsehen, dass ebenfalls Stetigkeit in obigem Sinne gilt, denn [mm] 0<\epsilon. [/mm]
Um gleichmäßige Stetigkeit zu widerlegen, musst du einfach die Aussage, die du in Quantoren oben formuliert hast verneinen.
Zeige: Es gibt ein [mm] \epsilon>0, [/mm] so dass für alle [mm] $N(\epsilon)>0$ [/mm] ein [mm] x\in[0,1] [/mm] und ein [mm] $n\ge [/mm] N$ existiert, so dass [mm] $|f_n [/mm] (x)-f [mm] (x)|>\epsilon$ [/mm] ist.
Gib [mm] \epsilon, [/mm] $n$ und $x$ konkret an! Schätze geschickt ab!
Bei Bedarf, kann ich die Lösung hinschreiben.
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 06.06.2015 | | Autor: | emperor |
Danke für die Antwort.
Ich kann also [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig wählen solange [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und wenn ich dann einen Wert finde für den die Ungleichung größer [mm] $\epsilon$ [/mm] ist dann ist gleichmäßige Konvergenz widerlegt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 06.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Ich denke, so kann man es ausdrücken. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 07.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Eine weitere sehr einfache Möglichkeit ist folgende:
Es gilt [mm] f_n [/mm] konvergiert gegen f gleichmäßig genau dann, wenn [mm] f_n [/mm] in der Supremumsnorm punktweise gegen f konvertiert.
Bilde also [mm] $\sup_{x\in [0,1]}|\frac{nx}{1+n^2x^2}-0|$.
[/mm]
Man kann leicht berechnen, dass [mm] f_n [/mm] sein Maximum stets bei [mm] \frac{1}{n} [/mm] annimmt (Stichwort: Extremstellen berechnen).
Also ist [mm] $\sup_{x\in [0,1]}|\frac{nx}{1+n^2x^2}-0|=\frac{1}{2}$, [/mm] was bei [mm] n\to \infty [/mm] nicht gegen $0$ konvergiert.
Also ist [mm] f_n [/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
Der Vorteil dieser Methode: Man braucht keine Kreativität. 
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 07.06.2015 | | Autor: | emperor |
Super! Vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 06.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Schau dir mal [mm] f_n [/mm] (1/n) an
Fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Sa 06.06.2015 | | Autor: | emperor |
Danke für die Antwort.
[mm] $f_n(\bruch{1}{n})=\frac{1}{2}$
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] $x=\bruch{1}{2}$ [/mm] einsetze und in die Definition einsetze folgt:
[mm] $|f_n(\bruch{1}{n})-f(x)0| \le \epsilon$
[/mm]
Da die Grenzfunktion $f(x)=0$ ist und [mm] $f_n(\bruch{1}{n})=\frac{1}{2}$ [/mm] folgt:
[mm] $|\bruch{1}{2}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Da aber für die Gleichmäßige Konvergenz alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] die Ungleichung erfüllen müssen, also auch [mm] $0<\epsilon<\bruch{1}{2}$, [/mm] ist die Folge nicht gleichmäßig Konvergent.
Kann man meiner Argumentation folgen?
Woher aber kam die Idee [mm] $x=\bruch{1}{n}$ [/mm] einzusetzen? Ist es überhaupt "erlaubt" eine Funktion einzusetzen bzw. einen nicht konstanten wert für $x$ einzusetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 So 07.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
>
> [mm]f_n(\bruch{1}{n})=\frac{1}{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] einsetze und in die
> Definition einsetze folgt:
>
> [mm]|f_n(\bruch{1}{n})-f(x)0| \le \epsilon[/mm]
>
> Da die Grenzfunktion [mm]f(x)=0[/mm] ist und
> [mm]f_n(\bruch{1}{n})=\frac{1}{2}[/mm] folgt:
>
> [mm]|\bruch{1}{2}| < \epsilon[/mm]
>
> Da aber für die Gleichmäßige Konvergenz alle [mm]\epsilon>0[/mm]
> die Ungleichung erfüllen müssen, also auch
> [mm]0<\epsilon<\bruch{1}{2}[/mm], ist die Folge nicht gleichmäßig
> Konvergent.
>
> Kann man meiner Argumentation folgen?
Ja, durchaus.
>
> Woher aber kam die Idee [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm] einzusetzen?
Übung, Erfahrung
> Ist es
> überhaupt "erlaubt" eine Funktion einzusetzen bzw. einen
> nicht konstanten wert für [mm]x[/mm] einzusetzen?
Warum denn nicht ??
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mo 08.06.2015 | | Autor: | emperor |
Gute Frage. Ich dachte mir nur das wenn ich ein $x$ suche für das die Folge nicht gl. Konvergiert dann muss das ja EIN Wert für $x$ und keine Funktion sein. Aber wahrscheinlich habe ich da einfach einen Denkfehler.
Liebe Grüße
Emperor
|
|
|
|
