Gleichmäßig Stetig, < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Es sei $f(x) = [mm] \frac{1}{x^4+4x^2+4}$. [/mm] Untersuchen Sie die Funktion $f: [mm] \IR \to\IR$ [/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit. |
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0
[mm] \forall [/mm] x, [mm] x^{\*} [/mm] : [mm] |x-x^{\*}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(x) - [mm] f(x^{\*})| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |x-x^{\*}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x) - [mm] f(x^{\*})| =|\frac{1}{x^4+4x^2+4} [/mm] - [mm] \frac{1}{x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4}|= [/mm] | [mm] \frac{x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4 - x^4-4x^2-4}{ (x^4+4x^2+4)*(x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4)}|= [/mm] | [mm] \frac{x^{\*}^4+4x^{\*}^2- x^4-4x^2}{(x^4+4x^2+4)*(x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4)}| [/mm]
Könnte mir hier wer helfen??
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 02.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]f(x) = \frac{1}{x^4+4x^2+4}[/mm]. Untersuchen Sie die
> Funktion [mm]f: \IR \to\IR[/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit.
>
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0
> [mm]\forall[/mm] x, [mm]x^{\*}[/mm] : [mm]|x-x^{\*}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => |f(x) -
> [mm]f(x^{\*})|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]|x-x^{\*}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> |f(x) - [mm]f(x^{\*})| =|\frac{1}{x^4+4x^2+4}[/mm] -
> [mm]\frac{1}{x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4}|=[/mm] |
> [mm]\frac{x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4 - x^4-4x^2-4}{ (x^4+4x^2+4)*(x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4)}|=[/mm]
> | [mm]\frac{x^{\*}^4+4x^{\*}^2- x^4-4x^2}{(x^4+4x^2+4)*(x^{\*}^4+4x^{\*}^2+4)}|[/mm]
[mm] $x^4+4x^2+4 \ge [/mm] 4$, und daher
[mm] \le \bruch{|x^{\ast}^4+4x^{\ast}^2- x^4-4x^2|}{16} = \bruch{|x^{\ast}^2-x^2|(x^{\ast}^2+ x^2+4)}{16}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:46 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Danke!
> $ [mm] \le \bruch{|x^{\ast}^4+4x^{\ast}^2- x^4-4x^2|}{16} [/mm] = [mm] \bruch{|x^{\ast}^2-x^2|(x^{\ast}^2+ x^2+4)}{16} [/mm] $
<= [mm] \frac{\delta * |(x+x^{\*} )|* (x^{\*}^2 + x^2 +4)}{16} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
ABer nu hängt das ganze ja noch von x ab, muss das bei der glm Stetigkeit das [mm] \delta [/mm] nicht unabhängig von x sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Rainer,
> [mm]x^4+4x^2+4 \ge 4[/mm], und daher
>
> [mm]\le \bruch{|x^{\ast}^4+4x^{\ast}^2- x^4-4x^2|}{16} = \bruch{|x^{\ast}^2-x^2|(x^{\ast}^2+ x^2+4)}{16}[/mm]
> .
Das kann doch aber nicht mehr zum Ziel führen, da schon [mm] $x^{\ast}^2+ x^2+4$ [/mm] unbeschränkt ist. Oder wie hast du dir das gedacht?
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 So 03.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marc!
> Hallo Rainer,
>
> > [mm]x^4+4x^2+4 \ge 4[/mm], und daher
> >
> > [mm]\le \bruch{|x^{\ast}^4+4x^{\ast}^2- x^4-4x^2|}{16} = \bruch{|x^{\ast}^2-x^2|(x^{\ast}^2+ x^2+4)}{16}[/mm]
> > .
>
> Das kann doch aber nicht mehr zum Ziel führen, da schon
> [mm]x^{\ast}^2+ x^2+4[/mm] unbeschränkt ist. Oder wie hast du dir
> das gedacht?
Da hast du recht, da habe ich nicht weit genug gedacht.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo sissile,
> Es sei [mm]f(x) = \frac{1}{x^4+4x^2+4}[/mm]. Untersuchen Sie die
> Funktion [mm]f: \IR \to\IR[/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit.
>
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0
> [mm]\forall[/mm] x, [mm]x^{\*}[/mm] : [mm]|x-x^{\*}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => |f(x) -
> [mm]f(x^{\*})|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
Ist denn das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] dein einziges (bisher), um gleichmäßige Stetigkeit nachzuweisen? Es gibt auch einen schönen Zusammenhang zwischen beschränkter Ableitung und gleichmäßiger Stetigkeit. Und selbst wenn du diesen Satz nicht hattest, könnte man auf [mm] $|f(x)-f(x^{\ast})|$ [/mm] den Mittelwertsatz anwenden.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Ich weiß noch:
Sei f :[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig
-> f gleichmäßig stetig.
(was hier nicht hilft)
Meinst du mit Lipschitzstetigkeit?
Könntest du mir da vlt. nochmals helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich weiß noch:
> Sei f :[a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig
> -> f gleichmäßig stetig.
> (was hier nicht hilft)
Das stimmt beides.
> Meinst du mit Lipschitzstetigkeit?
> Könntest du mir da vlt. nochmals helfen?
Lipschitzstetigkeit kennt du also und den Zusammenhang zur beschränkten Ableitung? Dann ist es doch relativ einfach geworden, denn
f hat beschränkte Ableitung => f Lipschitz-stetig => f gleichmäßig stetig
Wenn du die beiden Folgerungen als Sätze vorliegen hast, musst du nur zeigen, dass f' beschränkt ist.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Okay dann noch die Frage, wie man zeigt, dass die ABleitung beschränkt ist!
ZZ: [mm] \exists [/mm] M >0 sodass M > = |f'(x)| [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
$ f(x) = [mm] \frac{1}{x^4+4x^2+4} [/mm] $.
f'(x) = [mm] \frac{-4x^3 - 8x }{(x^4+4x^2+4)^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer endliche x ist das endlich, also untersuche mit den ueblichen Mitteln den GW fuer x gegen [mm] \infty
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> fuer endliche x ist das endlich,
was ist die Information, die Du in diesem Satz versteckst? Ich versteh' nämlich nicht, was Du damit sagen willst. Natürlich ist für jede Funktion $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] dann $h(x) [mm] \in \IR$ [/mm] und damit endlich. Sind bei Dir $x [mm] \in \IR$ [/mm] endliche [mm] $x\,$? [/mm] Was sind nun unendliche [mm] $x\,$?
[/mm]
> also untersuche mit den
> ueblichen Mitteln den GW fuer x gegen [mm]\infty[/mm]
Das reicht i.a. nicht! Ich kann ja [mm] $r(x):=e^{-\;|x|}$ [/mm] setzen für $|x| [mm] \ge 1\,,$ [/mm] und dann $r(x):=1/(1-x)$ für $-1 < x < [mm] 1\,.$ [/mm] Hier wäre $r: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] unbeschränkt. Aus einem anderen Grund reicht es aber bei der gegebenen Funktion dann doch!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay dann noch die Frage, wie man zeigt, dass die ABleitung
> beschränkt ist!
> ZZ: [mm]\exists[/mm] M >0 sodass M > = |f'(x)| [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]f(x) = \frac{1}{x^4+4x^2+4} [/mm].
> f'(x) = [mm]\frac{-4x^3 - 8x }{(x^4+4x^2+4)^2}[/mm]
Du kannst es fast mit Schulmitteln machen: Bestimme lokale Extrema und finde heraus, wie man damit eine "globale Schranke für die Betragsfunktion" bekommt und dies auch begründet. (Da kann man durchaus auch mit "Monotonie auf gewissen Bereichen der Funktion" argumentieren.)
Ich würde es so machen:
Es existieren [mm] $\lim_{x \to \infty}f\;'(x) \in \IR$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{x \to -\infty}f\;'(x) \in \IR\,.$ [/mm] (Du kannst die Grenzwerte, die hier übereinstimmen, auch konkret angeben!) Daher existiert ein [mm] $x_0 [/mm] > 0$ so, dass [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt ist auf [mm] $(-\infty,-x_0) \cup (x_0,\infty)\,.$ [/mm] Sei also etwa $K > [mm] 0\,$ [/mm] so, dass [mm] $|f\,'(x)| \le [/mm] K$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| > [mm] |x_0|\,.$
[/mm]
Weil [mm] $f\,'$ [/mm] (offenbar) stetig ist (warum?) - insbesondere (und was hier das wichtige ist!) ist die Einschränkung von [mm] $f\,'$ [/mm] auf [mm] $[-x_0,\;x_0]$ [/mm] auch stetig - ist [mm] $(f\,')_{|[-x_0,\;x_0]}$ [/mm] als stetige Funktion auf einer kompakten Menge insbesondere beschränkt... Wie geht's wohl weiter?
Meine letzte Argumentation beruht fast nur auf "Theorie von stetigen Funktionen/Grenzwert von Funktionen". Das, was ich "mit Schulmitteln zeigen" angedeutet habe, benutzt Argumente, die das Begründen, was man auch sieht, wenn man den Graphen der Funktion zeichnet/sich plotten läßt. Dabei sollte man halt nur alles, was man "sieht oder gerne sehen würde", auch mit einem wirklichen mathematischen Argument untermauern.
Zu kleinen Demonstration:
Zum Beispiel sieht man wunderschön, dass $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ ($x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$) [/mm] nicht monoton ist, aber streng monoton fallend ist auf [mm] $(0,\infty)\,.$ [/mm]
Die Begründung für letzteres, was man sieht:
Betrachtet man $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ auf [mm] $(0,\infty)\,,$ [/mm] so ist die Ableitung dort gegeben durch $x [mm] \mapsto -1/x^2\,,$ [/mm] was dann stets $< [mm] 0\,$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
nur nebenbei: Ich empfehle Dir, Dir selbst klarzumachen, was Marc geschrieben hat:
1.) Ist die Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt, so ist die Funktion Lipschitzsch. Das ist nicht schwer, Du verwendest dafür einfach nur den Mittelwertsatz der Differentialrechnung und die Voraussetzung, dass [mm] $|f\,'|$ [/mm] beschränkt ist.
2.) Jede Lipschitzsche Funktion ist auch gleichmäßig stetig. Das kann man mehr oder weniger einfach runterratern, ich erspare mir viele Worte, ich denke, es ist klar, was die einzelnen Variablen bedeuten und welche Voraussetzungen sie erfüllen (okay: $L > [mm] 0\,$ [/mm] schreibe ich als o.E. angenommen dazu - und [mm] $L\,$ [/mm] hängt natürlich von [mm] $f\,$ [/mm] ab: [mm] $L=L_f$):
[/mm]
In der für alle [mm] $x,y\,$ [/mm] gegebenen Ungleichung
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L*|x-y|$$
schau' mal, was passiert, wenn man die [mm] $x,y\,$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta:=\epsilon/L$ [/mm] betrachtet...
P.S. Das sind typische Prüfungsfragen, die man auch in einer mündlichen Prüfung schnell beantworten können sollte!!
Gruß,
Marcel
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