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| Aufgabe | | Sei X eine nicht abzählbare Menge und A [mm] \subset [/mm] X abzählbar. Sind die Mengen $X$ und $X [mm] \setminus [/mm] A$ gleichmächtig, dh. gibt es eine Bijektion $f: X [mm] \to [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A$? |
Mir ist klar, dass $X [mm] \setminus [/mm] A$ nicht abzählbar ist. Mein Problem besteht hierbei jedoch in der Bijektion.
Vielleicht kann mir jemand eine Anregung geben?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 04.12.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
edit:
Ich meine X [mm] \setminus [/mm] A und f: X [mm] \to [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Do 06.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pflaume007,
du hast korrekt festgestellt, dass [mm] $X\setminus [/mm] A$ überabzählbar, also insbesondere unendlich ist. Also hat [mm] $X\setminus [/mm] A$ eine abzählbar unendliche Teilmenge $B$.
Nun sind $B$ und [mm] $A\cup [/mm] B$ beide abzählbar unendlich. Überlege dir nun, dass daher eine bijektive Abbildung [mm] $g\colon A\cup B\to [/mm] B$ existiert.
Betrachte dann
[mm] $f\colon X\to X\setminus A,\quad x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{für } x\notin A\cup B \\ g(x), & \mbox{für } x\in A\cup B\end{cases}$
[/mm]
und zeige, dass dadurch eine wohldefinierte Bijektion gegeben ist.
Viele Grüße
Tobias
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