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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 26.06.2007 | | Autor: | jubidu |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm] \IZ\times\IZ\sim\IN
[/mm]
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ich weiß nicht wie ich das machen soll. es sagt mir gar nichts.
hoffe ihr könnt mir helfen!
Danke
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Hallo jubidu!
> Zeigen Sie
> [mm]\IZ\times\IZ\sim\IN[/mm]
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> ich weiß nicht wie ich das machen soll. es sagt mir gar
> nichts.
Ich würde eine Bijektion von [mm] $\IZ\times \IZ$ [/mm] auf [mm] \IN [/mm] angeben. Evtl. ginge das so: die (0,0) bildest du auf die 0 ab, die (1,0) auf die 1, die (0,1) auf die 2, die (-1,0) auf die 3, die (0,-1) auf die 4 (dann bist du quasi einmal um die 0 rum im Kreis gelaufen, jetzt müssen wir den Kreis größer machen, also z. B. die (2,0) auf die 5 abbilden, dann die (1,1) auf die 6, die (0,2) auf die 7 usw..
Das dürfte doch eigentlich hinhauen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Du musst nicht unbedingt eine Formel angeben, mit der du einem Element n [mm] \in \IN [/mm] ein Element (x|y) [mm] \in \IZ [/mm] X [mm] \IZ [/mm] oder umgekehrt zuordnest, sondern nur ein Verfahren, wie Bastiane es beschreibt, bei dem klar wird, dass genau ein Element der einen Menge zu einem Element der anderen passt. Hier ist also nur zu zeigen, dass es ein Verfahren gibt, bei dem alle Elemente aus [mm] \IZ [/mm] X [mm] \IZ [/mm] der Reihe nach erfasst werden, ohne dass eins doppelt oder gar nicht vorkommt. Dementsprechend erhält jedes Element automatisch eine Nummer und damit einen "Partner" aus [mm] \IN.
[/mm]
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[mm]\IZ x \IZ[/mm] kann man ja auch mit [mm]\IQ[/mm] identifizieren, indem man [mm](n, m) \mapsto \bruch{n}{m}[/mm] abbildet. Da ist man dann wieder beim alten Herrn Cantor und seiner ![[]](/images/popup.gif) Diagonalisierung. Gut, die geht nur über den positiven Quadranten, lässt sich aber leicht modifizieren...
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