Gleichheit zweier Darstellunge < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] eine multiplikative zahlentheo. Funktion und n [mm] \in \IZ.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{1\le d \le n, d|n}^{} \mu(d)*\alpha(d)=\produkt_{p\in\IP, p|n }^{} (1-\alpha(p))
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist hier die ![[]](/images/popup.gif) Möbiusfunktion. |
Guten Abend,
ich bin folgendermaßen an die Aufgabe heran gegangen:
Sei [mm] z=p_1^{n_1} [/mm] * [mm] p_2^{n_2} [/mm] * ... * [mm] p_k^{n_k} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] d={1, [mm] p_1, [/mm] ... [mm] ,p_1^{n_1}, [/mm] ... , [mm] p_k, [/mm] ... , [mm] p_k^{n_k} [/mm] }
[mm] \summe_{1\le d \le n, d|n}^{}\mu(d)*\alpha(d) [/mm] = [mm] \underbrace{\mu(1)*\alpha(1)}_{=1, da \mu(1)=\alpha(1)=1} [/mm] + [mm] \mu(p_1)*\alpha(p_1) [/mm] + ... + [mm] \mu(p_k)*\alpha(p_k) [/mm] + ... + [mm] \mu(p_1^{n_1})*\alpha(p_1^{n_1}) [/mm] + ... + [mm] \mu(p_k^{n_k})*\alpha(p_k^{n_k})
[/mm]
O.B.d.A. nehme ich nun an, dass für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,k} [mm] n_i [/mm] > 0 ist, was zur Folge hat, dass [mm] \mu(p_i^{n_i}) [/mm] = 0 ist.
[mm] \Rightarrow \summe_{1\le d \le n, d|n}^{}\mu(d)*\alpha(d) [/mm] = 1 + [mm] \mu(p_1)*\alpha(p_1) [/mm] + ... + [mm] \mu(p_k)*\alpha(p_k)
[/mm]
Jetzt gilt aber auch, dass [mm] \mu(p_i)=(-1) [/mm] ist:
[mm] \Rightarrow \summe_{1\le d \le n, d|n}^{}\mu(d)*\alpha(d) [/mm] = 1 - [mm] \alpha(p_1) [/mm] - ... - [mm] \alpha(p_k)
[/mm]
Und hier komme ich nichtmehr weiter.
Hat jmd eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 25.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine multiplikative zahlentheo. Funktion und n
> [mm]\in \IZ.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\summe_{1\le d \le n, d|n}^{} \mu(d)*\alpha(d)=\produkt_{p\in\IP}^{} (1-\alpha(p))[/mm]
Auf der linken Seite taucht $n$ auf, auf der rechten Seite allerdings nicht. Ich vermute mal, da fehlt noch etwas? Sollen z.B. auf der rechten Seite nur die Primzahlen $p$ auftauchen, die $n$ teilen?
LG Felix
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> Auf der linken Seite taucht [mm]n[/mm] auf, auf der rechten Seite
> allerdings nicht. Ich vermute mal, da fehlt noch etwas?
> Sollen z.B. auf der rechten Seite nur die Primzahlen [mm]p[/mm]
> auftauchen, die [mm]n[/mm] teilen?
>
> LG Felix
>
Du hast recht. Da fehlte noch, dass p|n. Ich habe es verbessert.
Ich habe jetzt die Lösung/den Beweis dazu. Bei Bedarf, kann ich Ihn hier rein schreiben.
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 26.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Auch wenn du die Loesung schon hast, hier noch Hinweise fuer andere, die die gleiche Aufgabe haben.
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine multiplikative zahlentheo. Funktion und n
> [mm]\in \IZ.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\summe_{1\le d \le n, d|n}^{} \mu(d)*\alpha(d)=\produkt_{p\in\IP, p|n }^{} (1-\alpha(p))[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] ist hier die
> Möbiusfunktion.
>
> Guten Abend,
>
> ich bin folgendermaßen an die Aufgabe heran gegangen:
> Sei [mm]z=p_1^{n_1}[/mm] * [mm]p_2^{n_2}[/mm] * ... * [mm]p_k^{n_k}[/mm]
Also $z = n$?
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
d={1, [mm]p_1,[/mm] ... [mm],p_1^{n_1},[/mm] ... , [mm]p_k,[/mm] ... ,
> [mm]p_k^{n_k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Das sind nicht alle Teiler von $n$, sondern nur eine Teilmenge davon. Die Teiler sind von der Form $\prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$ mit $0 \le e_i \le n_i$.
Allerdings: ist $e_i > 1$ fuer irgendein $i$, so ist $\mu$ vom Teiler gleich 0.
Also: im wesentlichen hat man Links stehen $\underset{(e_1, \dots, e_k) \in \{ 0, 1 \}^k}{\sum\sum} (-1)^{e_1 + \dots + e_k} \alpha(p_1)^{e_1} \cdots \alpha(p_k)^{e_k}$.
Und dass dies gerade $\prod_{i=1}^k (1 - \alpha(p_i))$ ausmultipliziert ist, kann man sich auch schnell ueberlegen. Das dann formal hinzuschreiben ist noch ein wenig mehr Arbeit, aber wenn man das obige verstanden hat geht das auch denke ich :)
LG Felix
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