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| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe mit endlich vielen Zahlen.Man zeige:
Zu je zwei Elementen a,b [mm] \inG [/mm] gibt es eine natürliche Zahl n [mm] \in \IN [/mm] mit n>0,so das [mm] a^n=b^n [/mm] |
ich kann mir das nur so erklären,dass a=-b oder b=-a ist und n=g
g definiere ich als eine beliebige gerade zahl aus [mm] \IN
[/mm]
Bsp. g=2
weil dann würde gelten für [mm] a^2=(-b)^2=b^2 [/mm] und [mm] b^2=(-a)^2=a^2
[/mm]
ist das richtig???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:17 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei G eine Gruppe mit endlich vielen Zahlen.Man zeige:
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> Zu je zwei Elementen a,b [mm]\inG[/mm] gibt es eine natürliche Zahl
> n [mm]\in \IN[/mm] mit n>0,so das [mm]a^n=b^n[/mm]
>
> ich kann mir das nur so erklären,dass a=-b oder b=-a ist
> und n=g
Was soll $g$ sein und was bitteschoen ist $-x$ fuer $x [mm] \in [/mm] G$, wenn $G$ multiplikativ geschrieben wird?! $G$ ist eine Gruppe, kein Ring oder gar Koerper!
> g definiere ich als eine beliebige gerade zahl aus [mm]\IN[/mm]
>
> Bsp. g=2
>
> weil dann würde gelten für [mm]a^2=(-b)^2=b^2[/mm] und
> [mm]b^2=(-a)^2=a^2[/mm]
Wie schon gesagt, $G$ ist kein Ring. Und daraus folgern, dass $a = [mm] \pm [/mm] b$ ist, geht auch nur in Integritaetsringen bzw. Koerpern.
> ist das richtig???
Nein.
Was kennst du denn fuer endliche Gruppen?
Und noch was: [mm] $a^n [/mm] = [mm] b^n$ [/mm] ist aequivalent zu $(a [mm] b^{-1})^n [/mm] = [mm] 1_G$.
[/mm]
LG Felix
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