Gleichheit im Vektorraum < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 30.09.2012 | | Autor: | felix88 |
| Aufgabe | | Ist [mm] (V,\parallel.\parallel) [/mm] ein normierter Vektorraum, so gilt für alle x,y [mm] \in [/mm] V die [mm] Gleichheit\parallel x+y\parallel^{2}+\parallel x-y\parallel^{2}=2\parallel x\parallel^{2}+2\parallel y\parallel^{2} [/mm] |
Hi,
ich bereite mich gerade auf meine Klausur in Mathe II für Physiker vor und bin über diese Aufgabe gestolpert. Die Musterlösung sagt mir, die Aussage wäre Falsch. Ich selbst kann mir diese Antwort jedoch nicht erklären, da aus meiner Sicht die Aussage für jedes mögliche Zahlenpaar zutrifft sowie eine "Umformung" möglich ist.
Für welchen Fall trifft dies also nicht zu?
Ich würde mich freuen wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.
MfG
Felix
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 So 30.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Diese Gleichung nennt man auch Parallelogrammidentität und sie ist z.B. richtig, falls die Norm aus einem Skalarprodukt auf dem Vektorraum gewonnen wurde. Deswegen stimmt die Aussage z.B. im [mm] \IR^n [/mm] für die euklidische Norm, die ja aus dem Standardskalarprodukt gewonnen wird.
Ein Raum in dem das nicht funktioniert, wäre z.B. der Funktionenraum von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit der Supremumsnorm. Guck dir mal folgende Funktionen an:
x(t)=0 für alle t außer t=3 und x(3)=1 und
y(t)=0 für alle t außer t=5 und y(5)=1.
Dann stimmt die Identität nicht mehr.
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