Gleichgradige Stetigkeit [0,1] < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Mi 23.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [tex] \Phi \subset C \[0,1\] [/tex] eine Menge von gleichgradig stetigen Funktionen. Welche der folgenden Familien sind dann wieder gleichgradig stetig. Beweisen Sie ihre Vermutung oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!
a) [tex] \{ 2007 * f | f \in \Phi \} [/tex]
b) [tex] \{ f^{2007} | f \in \Phi \} [/tex]
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Aloha hé,
ich habe obige tolle Aufgabe, die mich etwas verwirrt. Bislang hatten wir gleichgradige Stetigkeit nur auf [tex] \IR [/tex] betrachtet. Bei der obigen Aufgabe steht und fällt alles mit der Interpretation von [0,1].
Zunächst: Ich bezieh mich auf ![[]](/images/popup.gif) diese Formulierung der gleichgradigen Stetigkeit
Beispiel: Wäre [tex] \Phi [/tex] von [tex] \IR \rightarrow \IR [/tex], dann läge in Fall a) sicherlich ebenso wieder eine gleichgradig stetige Familie vor (kann man ja mit einem Epsilon-Trick zeigen... man nimmt für die Ausgangsmenge gerade Epsilon/2007 und multipliziert entsprechend den Betrag). Wenn ich allerdings fordere, dass ich gefälligst in [0,1] bleiben soll, dann wäre es keine Familie mehr, da ja durch die Multiplikation mit 2007 einige Funktionen außerhalb liegen könnten.
Bei b) bin ich noch unsicherer. Wenn ich mir bspw. f(x)=x als Teil der Funktionenfamilie anschaue, dann bringt eine 2007-Potenz drastische Folgen mit sich... insbesondere dürfte das [tex] \delta [/tex] ein anderes werden - in Abhängigkeit von der gewählten Funktion.
Wäre wie immer für einen Wink mit dem Zaunpfahl sehr dankbar.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun erstmal frühstücken geht
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Hallo laryllan,
> Beispiel: Wäre [tex]\Phi[/tex] von [tex]\IR \rightarrow \IR [/tex], dann läge in
> Fall a) sicherlich ebenso wieder eine gleichgradig stetige
> Familie vor (kann man ja mit einem Epsilon-Trick zeigen...
> man nimmt für die Ausgangsmenge gerade Epsilon/2007 und
> multipliziert entsprechend den Betrag). Wenn ich allerdings
> fordere, dass ich gefälligst in [0,1] bleiben soll, dann
> wäre es keine Familie mehr, da ja durch die Multiplikation
> mit 2007 einige Funktionen außerhalb liegen könnten.
Das ist Unsinn. Der Funktionenraum $C([0,1])$ ist ein Vektorraum. Beachte, dass dieser Raum der Raum aller stetigen Funktionen ueber dem Intervall $[0,1]$ bezeichnet! Deine Beweisidee ist daher korrekt.
> Bei b) bin ich noch unsicherer. Wenn ich mir bspw. f(x)=x
> als Teil der Funktionenfamilie anschaue, dann bringt eine
> 2007-Potenz drastische Folgen mit sich... insbesondere
> dürfte das [tex]\delta[/tex] ein anderes werden - in Abhängigkeit von
> der gewählten Funktion.
Zunaechst einmal ist der Raum $C([0,1])$ eine Algebra, das heisst die Multiplikation fuer Funktionen ist definiert, daher ist [mm] $f^{2007}\in [/mm] C([0,1])$. Was du sagst hinsichtlich des [mm] $\delta$ [/mm] ist im Allgemeinen richtig. Es gilt zu ueberlegen, ob es ein Gegenbeispiel gibt.
Ueberlege dir, was fuer Folgen das Potenznehmen hat
[mm] \vert [/mm] x-y [mm] \vert <\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon \Rightarrow
[/mm]
[mm] \vert f(x)^2 [/mm] - [mm] f(y)^2\vert\leq \vert f(x)\vert \vert [/mm] f(x) - [mm] f(y)\vert [/mm] + [mm] \vert f(y)\vert \vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon(\vert [/mm] f(x) [mm] \vert [/mm] + [mm] \vert [/mm] f(y) [mm] \vert)\leq \epsilon [/mm] 2 [mm] \parallel f\parallel_{\infty}
[/mm]
Das bedeutet, dass dir beim Potenzieren mit $2$, die Maximumsnorm von $f$ alles kaputt machen kann. Das gleiche - mit ein wenig Aufwand - kannst du beim Potenzieren mit 2007 folgern. Jetzt musst du nur noch eine geeignete Familie angeben, fuer die die gleichgrd. Stetigkeit gilt, die aber nach Potenznehmen nicht mehr gleichgrd. stetig ist..
> Wäre wie immer für einen Wink mit dem Zaunpfahl sehr
> dankbar.
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> Namárie,
> sagt ein Lary, wo nun erstmal frühstücken geht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Fr 25.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Herzlichen Dank für den Hinweis.
Der Def-Bereich hat mich irgendwie wirklich verwirrt.
Namárie,
sagt ein Lary, wo das jetzt mal bombensicher aufschreiben geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 25.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
beim sauber-aufchreiben habe ich nun erstmal versucht eine solche Familie zu finden. So wirklich fündig bin ich leider nicht geworden. Allerdings kam mir just noch eine andere Idee in den Sinn:
"Gleichgradige Stetigkeit" bedeutet (so hab ich es mir zumindest aufgeschrieben):
Für alle y aus dem Intervall [0,1] und für alle [mm] \epsilon [/mm] größer Null existiert ein [mm] \delta [/mm] für alle Funktionen der Familie [mm] \Phi, [/mm] so dass für alle x aus [0,1] mit |x - y| < [mm] \delta [/mm] gerade |f(y) - f(x)| [mm] \epsilon [/mm] gilt.
Das heißt für mich dass "gleichgradige Stetigkeit" gerade bedeutet: [mm] \delta [/mm] ist unabhängig von den x (es existiert ein ganz bestimmtes [mm] \delta, [/mm] dass ich um alle Funktionen eine [mm] \delta [/mm] - Umgebung legen kann und entsprechend "drin" bleibe).
Wenn ich das bei b) so mache wie du vorgeschlagen hast, bekomme ich ja raus:
[tex] |f(y)^{2} - f(x)^{2}| \le 2 \epsilon * max \{ |f(y), f(x) \} [/tex].
So wie das ausschaut, erhalte ich somit, dass Delta bereits im Falle der Quadratur von [tex] f [/tex] nicht mehr unabhängig von [tex] x [/tex] für alle Funktionen [tex] f \in \Phi [/tex] gilt. Wäre ich damit nicht bereits fertig?
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich sehr freuen würde, wenn er das richtig verstanden hätte
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> Das heißt für mich dass "gleichgradige Stetigkeit" gerade
> bedeutet: [mm]\delta[/mm] ist unabhängig von den x (es existiert ein
> ganz bestimmtes [mm]\delta,[/mm] dass ich um alle Funktionen eine
> [mm]\delta[/mm] - Umgebung legen kann und entsprechend "drin"
> bleibe).
Korrekt
> Wenn ich das bei b) so mache wie du vorgeschlagen hast,
> bekomme ich ja raus:
>
> [tex]|f(y)^{2} - f(x)^{2}| \le 2 \epsilon * max \{ |f(y), f(x) \} [/tex].
>
> So wie das ausschaut, erhalte ich somit, dass Delta bereits
> im Falle der Quadratur von [tex]f[/tex] nicht mehr unabhängig von [tex]x[/tex]
> für alle Funktionen [tex]f \in \Phi[/tex] gilt. Wäre ich damit nicht
> bereits fertig?
Fast. Da nirgends steht, wie diese Familie ausschaut, darfst du dir getrost eine gleichgradig stetige Familie ausdenken, die nach Potenznehmen nicht mehr diese Eigenschaft hat, naemlich, dass das [mm] $\delta$ [/mm] nicht mehr nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhaengt. Ich habe ein bisschen mit der Folge [mm] $f_n(x)=x+n$, $n\in\IN$ [/mm] herumgespielt. Hilft dir das weiter?
LG Kornfeld
> Namárie,
> sagt ein Lary, wo sich sehr freuen würde, wenn er das
> richtig verstanden hätte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Fr 25.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Ja, das hilft mir weiter, danke.
Namárie,
sagt ein Lary, wo dann mal weiter schreibt.
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