Gleichgradige Integrierbarkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 14.09.2015 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von unabhängigen, id.verteilten Zufallsgrößen mit
[mm]P(X_1=-1)=\frac{1}{2}=P(X_1=1)[/mm]. Sei [mm]S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm].
Zeigen Sie, dass [mm](S_n)_n[/mm] nicht gleichgradig integrierbar ist.
(d.h. [mm]\lim_{a\to\infty}\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|*1_{\{|S_n|>a\}}]=0[/mm] ) |
Hallo zusammen,
also ich habe mir einen Lösungsweg überlegt, allerdings frage ich mich, ob es nicht auch einen anderen Weg gibt. Hättet ihr da eine Idee?
Mein Weg (stimmt der?):
[mm](S_n)_n[/mm] ist ein Martingal bzgl. der kan. Filtration.
Annahme: [mm] $(S_n)_n$ [/mm] ist gleichgradig integrierbar. Da [mm] $(S_n)$ [/mm] Martingal ist, muss [mm] $(S_n)$ [/mm] P-fast sicher konvergieren, allerdings gilt nach dem Satz von Chung-Fuchs [mm]\limsup_{n\to\infty} S_n=\infty[/mm]
und [mm]\liminf_{n\to\infty} S_n=-\infty[/mm] fast sicher.
Viele Grüße
Fry
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Hiho,
deine Idee ist ok.
Es müsste aber sogar möglich sein direkt $ [mm] \lim_{a\to\infty}\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}]\not= [/mm] 0 $ zu zeigen.
Rein intuitiv (und nach skizzenhaften Umformungen) müsste eigentlich [mm] $\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] gelten.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 16.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
danke für deine Antwort!
Könntest du vielleicht deine Ansätze posten?
VG
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Hiho,
mein erster Ansatz begründete sich auf einen Rechenfehler ^^
Aber: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste man für gerade [mm] $n\ge [/mm] a$ bekommen:
[mm] $E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}] [/mm] = [mm] \bruch{2}{4^n}\sum_{k=0}^\frac{n-a}{2}(a+2k)\vektor{n \\ k}$
[/mm]
Ich bin noch am grübeln, wie davon das Supremum über n aussieht....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Fr 18.09.2015 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank!
Kann man es vielleicht nach unten abschätzen?
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Sa 19.09.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Fry,
> Kann man es vielleicht nach unten abschätzen?
meine Abschätzungen nach unten lieferten immer nur ein [mm] $\ge [/mm] 0$ und das ist natürlich gar nicht zielführend 
Waren also immer zu stark. Bin für Ideen aber jederzeit offen.
Gruß,
Gono
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