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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mi 20.10.2010 | | Autor: | ICG |
Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, es geht um ein Kräftedreieck, welches ich versuche durch Anwendung von Gleichgewichtsbedingungen rein analytisch zu lösen, gesucht "Z".
Dabei wurde ein Koordienantensystem gewählt x, y und die Komponenten der Kräfte in die entsprechenden Richtungen ermittelt.
In x-Richtung=0: [mm] X\sin\alpha+Y\sin\beta-Z\cos\gamma=0
[/mm]
-> [mm] Z\cos\gamma=X\sin\alpha+Y\sin\beta
[/mm]
In y-Richtung=0: [mm] -X\cos\alpha+Y\cos\beta-Z\sin\gamma=0
[/mm]
-> [mm] Z\sin\gamma=-X\cos\alpha+Y\cos\beta
[/mm]
Was ich bisher gemacht habe ist:
Die beiden umgestellen Gleichungen quadriert
Gleichung1: [mm] Z^2\cos^2\gamma=X^2\sin^2\alpha+2XY\sin\alpha\sin\beta+Y^2\sin^2\beta
[/mm]
Gleichung2: [mm] Z^2\sin^2\gamma=X^2\cos^2\alpha-2XY\cos\alpha\cos\beta+Y^2\cos^2\beta
[/mm]
[mm] \cos^2+\sin^2=1 [/mm] -> [mm] \sin^2=1-\cos^2
[/mm]
Gleichung2(linker Teil): [mm] Z^2\sin^2\gamma [/mm] -> [mm] Z^2(1-\cos^2) [/mm] -> [mm] Z^2-Z^2*\cos^2
[/mm]
daraus folgt:
[mm] Z^2-Z^2*\cos^2=X^2\cos^2\alpha-2XY\cos\alpha\cos\beta+Y^2\cos^2\beta
[/mm]
in Gleichung1 findet sich [mm] Z^2*\cos^2 [/mm] somit setze ich den rechten Teil in die zweite Gleichung:
[mm] Z^2-(X^2\sin^2\alpha+2XY\sin\alpha\sin\beta+Y^2\sin^2\beta)=X^2\cos^2\alpha-2XY\cos\alpha\cos\beta+Y^2\cos^2\beta
[/mm]
umgestellt nach Z
[mm] Z^2=X^2\cos^2\alpha-2XY\cos\alpha\cos\beta+Y^2\cos^2\beta+X^2\sin^2\alpha+2XY\sin\alpha\sin\beta+Y^2\sin^2\beta
[/mm]
[mm] Z^2=(X\cos\alpha-Y\cos\beta)^2 [/mm] + [mm] (X\sin\alpha+Y\sin\beta)^2
[/mm]
[mm] Z^2=X^2+Y^2-2XY\cos(\alpha+\beta)
[/mm]
Vom vorletzten Schritt zum letzten, kommen wohl die Additionstheoreme dran, oder? [mm] \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha*\cos\beta-\sin\alpha*\sin\beta
[/mm]
Ich weiß das mein Ergebnis stimmt, habe es in WolframAlpha eingegeben, mir wird nur nicht ganz klar, was da genau passiert, mag mir das mal einer erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ICG,
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !!
Beim Quadrieren einer Summe solltest Du auch an die binomischen Formeln denken, da i.Allg. gilt:
[mm](a+b)^2 \ \red{\not=} \ a^2+b^2[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 21.10.2010 | | Autor: | ICG |
Danke Loddar für deine Hilfe, das war ja nen Epic Fail von mir...
Ich habe meinen Anfangspost editiert/verbessert, mir erschließt sich nur noch nicht ganz, was beim vorletzten Schritt zum letzten passiert.
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Hallo ICG,
nennen wir die drittletzte Zeile mal (s), die vorletzte (t) und die letzte (u):
(s) $ [mm] Z^2=X^2\cos^2\alpha-2XY\cos\alpha\cos\beta+Y^2\cos^2\beta+X^2\sin^2\alpha+2XY\sin\alpha\sin\beta+Y^2\sin^2\beta [/mm] $
(t) $ [mm] Z^2=(X\cos\alpha-Y\cos\beta)^2 [/mm] $ + $ [mm] (X\sin\alpha+Y\sin\beta)^2 [/mm] $
(u) $ [mm] Z^2=X^2+Y^2-2XY\cos(\alpha+\beta) [/mm] $
Nun ist die Umformung (s) [mm] \to [/mm] (t) leicht mit den binomischen Formeln möglich.
Die Umformung (s) [mm] \to [/mm] (u) ist unter Zuhilfenahme des "trigonometrischen Pythagoras" und des von Dir schon angeführten Additionstheorems $ [mm] \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot{}\cos\beta-\sin\alpha\cdot{}\sin\beta [/mm] $ ebenfalls leicht möglich.
Die direkte Umformung (t) [mm] \to [/mm] (u) ist dagegen ohne Umweg über (s) nicht verständlich.
Ich vermute daher, dass die Musterlösung einfach am Ende zwei mögliche Zusammenfassungen von (s) präsentieren will. Welche davon zur Weiterarbeit besser geeignet ist, entscheidet sich ja manchmal daran, welche Größen besser gemessen werden können bzw. schon aus Messungen vorliegen, bzw. was man eigentlich ermitteln will.
Dass (t) und (u) beide angegeben sind, liegt wohl vor allem daran, dass die Umformung von der einen in die andere eben nicht offensichtlich ist.
Grüße
reverend
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