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| Aufgabe | | Sei [mm] (\IR, [/mm] B') der Borelsche Messraum und [mm] s_{1},s_{2} [/mm] zwei sigma-endlich Maße auf [mm] (\R,B') [/mm] mit [mm] s_{1}([a,b)) [/mm] = [mm] s_{2}([a,b)) [/mm] (a,b [mm] \in \IR, [/mm] a < b), dann ist [mm] s_{1}(B) [/mm] = [mm] s_{2}(B) \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] B'. |
Hallo an alle,
als ich die Aufgabe spontan gesehen habe, dachte ich na klar muss ja so sein, aber ein Beweis gelingt mir nicht recht. Da es keine Sätze gibt wann zwei Maße genau gleich sind, dachte ich mir folgendes: Ich gebe mir einfach eine Menge B vor und erzeuge B durch disjunkte Vereinigigungen von Mengen [a,b), also B = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} [a_{i},b_{i}) [/mm] (das müsste doch möglich sein, da B' eine sigma-Algebra ist, oder?). Dann gilt mit der sigma-Additivität doch
[mm] s_{1} [/mm] = [mm] (\bigcup_{i=1}^{\infty} [a_{i},b_{i})) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} ([a_{i},b_{i})). [/mm] Nun ist [mm] s_{1} ([a_{i},b_{i})) [/mm] = [mm] s_{2} ([a_{i},b_{i})) [/mm] für in i [mm] \in \IN [/mm] und da beide sigma-endlich sind, folgt die Gleichheit.
Ja, das ist meine Beweisidee. Irgendwie habe ich aber das Gefühl das das Murks ist. Wenn dem so ist, habt Ihr vielleicht eine richtige Beweisidee?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
da sich jede offene Menge als disjunkte Vereinigung von Intervallen der Form [a,b) darstellen lässt (hattet ihr bestimmt Satz aus Vorlesung) lässt sich deine Idee anwenden.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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