Gleiche Fläche im Quadrat < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Quadrat mit den Eckpunkten (0/0), (0,10), (10/10) und (10/0) befindet sich der Punkt [mm] P_{M} (x_{M}/y_{M}).
[/mm]
Dieser Punkt wird mit (0/5) verbunden. Wo auf dem Rand des Quadrates muss der Punkt [mm] P_{R} [/mm] liegen, der mit [mm] P_{M} [/mm] verbunden wird, damit beide Teile des Quadrates die selbe Fläche haben? |
Hier ist erst einmal eine Skizze, damit klar ist, was gemeint ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe das Quadrat auch schon ein einzelne Abschnitte (Dreiecke und Vierecke) aufgeteilt, deren Fläche man berechnen kann.
Jede der Flächen (blau und rot) muss 50 sein, da das Quadrat eine Fläche von 100 hat.
Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] P_{R} [/mm] auf dem rechten Rand des Quadrates liegt. Aber ist das zwingend so?? Vielleicht kann der gesuchte Punkt bei bestimmten [mm] P_{M} [/mm] ja auch auf dem oberen oder dem unteren Rand liegen.
Nach langem "Arschleder-Rechnen" habe ich auch für [mm] P_{R} (x_{R}/y_{R}) [/mm] etwas raus bekommen.
[mm] x_{R} [/mm] wäre ja 10 (weil rechter Rand)
[mm] y_{R} [/mm] = [mm] \bruch{5*x_{M}-x_{M}*y_{M}+12.5*y_{M}-50}{15-x_{M}}
[/mm]
Aber ich habe große Zweifel, dass dieses Ergebnis richtig.
Und zwar, weil ich es mit konkreten Zahlen durchgespielt habe, aber da kam dann Unsinn raus (es war offensichtlich, dass die Flächen nicht gleich groß sind)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> In einem Quadrat mit den Eckpunkten (0/0), (0,10), (10/10)
> und (10/0) befindet sich der Punkt [mm]P_{M} (x_{M}/y_{M}).[/mm]
>
> Dieser Punkt wird mit (0/5) verbunden. Wo auf dem Rand des
> Quadrates muss der Punkt [mm]P_{R}[/mm] liegen, der mit [mm]P_{M}[/mm]
> verbunden wird, damit beide Teile des Quadrates die selbe
> Fläche haben?
> Hier ist erst einmal eine Skizze, damit klar ist, was
> gemeint ist:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich habe das Quadrat auch schon ein einzelne Abschnitte
> (Dreiecke und Vierecke) aufgeteilt, deren Fläche man
> berechnen kann.
> Jede der Flächen (blau und rot) muss 50 sein, da das
> Quadrat eine Fläche von 100 hat.
>
> Ich bin davon ausgegangen, dass [mm]P_{R}[/mm] auf dem rechten Rand
> des Quadrates liegt. Aber ist das zwingend so?? Vielleicht
> kann der gesuchte Punkt bei bestimmten [mm]P_{M}[/mm] ja auch auf
> dem oberen oder dem unteren Rand liegen.
Hallo rabilein,
da hast du wieder mal so ne Tüftleraufgabe kreiert !
Nach etwas Ausprobieren denk ich schon, dass der
Punkt auch auf dem oberen oder unteren Rand sein
kann, aber sicher nicht auf dem linken. Dann ergeben
sich sofort weitere Fragen: wo liegen die gerade knapp
noch möglichen Punkte auf dem unteren oder oberen
Rand ? (Davon muss man wegen der Symmetrie natürlich
nur einen Fall untersuchen).
Gerechnet habe ich bis jetzt noch nichts. Trotzdem
hätte ich für die Rechnungen einen Tipp: ich würde die
Fläche nicht in Dreiecke und Rechtecke unterteilen,
sondern nur in Dreiecke mit Spitze in [mm] P_M [/mm] und
Grundlinien auf den Quadratseiten !
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wenn [mm] $P_M=(10,0)$, [/mm] also auf der unterne rechten Ecke liegt, kann [mm] $P_R$ [/mm] sicherlich nicht auf dem rechten Rand liegen, sondern irgendwo oben. Aber man kann leicht zeigen, dass es eine eindeutig bestimmte Lösung geben muss.
Edit: Die Eindeutigkeit gilt nur für [mm] $P_M\ne(10,5)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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Hallo rabilein,
Ich hab nun auch mal eine Rechnung angestellt.
Der Einfachheit setze ich die Quadrat-Seitenlänge
gleich Eins. Die Ecken des Quadrats seien A,B,C,D,
der Mittelpunkt von [mm] \overline{AD} [/mm] sei [mm] E(0/\bruch{1}{2}) [/mm] , der Punkt im
Inneren M(u/v) und der gesuchte Punkt am Rand
R(x/y).
Falls R auf der rechten Quadratseite [mm] \overline{BC} [/mm] liegt, ist
x=1. Dann haben wir die einzige Unbekannte y.
Die rote Fläche setzt sich dann aus den Dreiecken
EAM, ABM und BRM zusammen. Deren Flächeninhalt F
ist dann:
[mm] F=F_{EAM}+F_{ABM}+F_{BRM}=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2}*u+1*v+y*(1-u))=\bruch{1}{2}
[/mm]
Mit 2 multipliziert ergibt sich die Gleichung
[mm] \bruch{u}{2}+v+y*(1-u)=1
[/mm]
welche auf
[mm] y=\bruch{1-\bruch{u}{2}-v}{1-u}
[/mm]
führt.
Falls dieser y-Wert negativ wird, bedeutet dies, dass
der Punkt R nicht am rechten, sondern am unteren
Rand des Quadrates zu suchen ist. Seine y-Koordinate
ist dann null, und seine x-Koordinate
[mm] x=\bruch{1-\bruch{u}{2}}{v}
[/mm]
wie eine einfache Rechnung zeigt. Analoges gilt für
den Fall, dass die zuerst berechnete y-Koordinate
(unter der Annahme x=1) grösser als 1 ist: dann
liegt der Punkt R auf dem oberen Rand.
Gruß und einen schönen Abend !
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 06.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, Al-Chwarizmi, dass du dir die Mühe gemacht hast.
Ich hielt die Aufgabe für lösbar und wusste vom Prinzip her auch, wie man da rangehen müsste. Aber irgendwie muss ich mich bei den langen Zahlen- und Buchstabenreihen wohl verschrieben haben und fand deshalb die Lösung nicht.
Oftmals ist es Zufall, wie ich darauf komme, mir solche Aufgaben auszudenken.
Ursprünglich hatte ich vor, das Ganze anstelle eines Quadrates mit einem Kreis zu machen. Und zwar so, dass es zwei gegebene Punkte im Kreis-Inneren gibt, und dann der Punkt auf dem Kreis-Rand gesucht ist, so dass sich zwei gleich große Flächen ergeben.
Auch da müsste es eine Lösung für geben. Das erschien mir dann aber doch zu kompliziert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ursprünglich hatte ich vor, das Ganze anstelle eines
> Quadrates mit einem Kreis zu machen. Und zwar so, dass es
> zwei gegebene Punkte im Kreis-Inneren gibt, und dann der
> Punkt auf dem Kreis-Rand gesucht ist, so dass sich zwei
> gleich große Flächen ergeben.
Ich denke mal, das wäre auch schon mit einem Punkt
im Kreis-Inneren eine ansprechende und sicher nicht zu
leichte Aufgabe (link)!
Gute Nacht !
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