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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Gilt das auch für f?
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Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:52 So 13.12.2015
Autor: mariem

Hallo,

wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] also haben wir dass f=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}.

Wenn wir die Superposition anwenden müssen wir dann Differentialgleichungen der Form Ly=e^{bx} lösen.

Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].

Wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, ist die Lösung in der Form Ce^{b x}\in \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].


Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, richtig?

Das ist äquivalent zu L(e^{b x}) \neq 0, richtig?

Gilt das auch für die originale Differentialgleichung? Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0 ?
        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 So 13.12.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>
> wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring
> der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]

Ich nehme an, dass es sich um eine lineare DGL höherer Ordnung mit Konstanten Koeffizienten handelt.


> also haben wir dass f=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}.
>
> Wenn wir die Superposition anwenden müssen wir dann
> Differentialgleichungen der Form Ly=e^{bx} lösen.


Ja.



>
> Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit
> Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].

Nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.



>
> Wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung
> ist, ist die Lösung in der Form Ce^{b x}\in \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].


Wieder: nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.

>
>
> Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b
> keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist,
> richtig?


Die  DGL Ly=f hat für jedes(!) stetige f unendlich viele Lösungen !!!


>
> Das ist äquivalent zu L(e^{b x}) \neq 0, richtig?

L(e^{b x}) \neq 0  [mm] \gdw e^{b x} [/mm] ist keine Lösung der homogenen Gl. $Ly=0$  [mm] \gdw [/mm] b ist keine Nullstelle des zugeh. char. Polynoms.



>
> Gilt das auch für die originale Differentialgleichung?
> Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0
> ?  


Was soll auch dafür gelten ?

FRED

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Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 So 13.12.2015
Autor: mariem

> > wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring
> > der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]
>
> Ich nehme an, dass es sich um eine lineare DGL höherer
> Ordnung mit Konstanten Koeffizienten handelt.

Ja.




> > Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit
> > Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].
>
> Nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele
> Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.


Also kann die DGL eine Lösung in den Ring, in einer andere Form, haben auch wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit Multiplizität M ist?



> > Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b
> > keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist,
> > richtig?
>
>
> Die  DGL Ly=f hat für jedes(!) stetige f unendlich viele
> Lösungen !!!

Also hat die DGL auch unendlich viele Lösungen in den Ring \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] ?



> > Gilt das auch für die originale Differentialgleichung?
> > Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0
> > ?  
>
>
> Was soll auch dafür gelten ?


Die Differentialgleichung [mm] Ly=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x} [/mm] hat eine Lösung in den Ring [mm] \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] [/mm] wenn und nur wenn für jedes i=0, [mm] \dots, [/mm] n das [mm] \lambda_i [/mm] keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, oder nicht?
Kann man das als eine generelle Bedingung formulieren? Zum Beispiel L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0 ?

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Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 13.12.2015
Autor: fred97

All Deine Fragen kannst Du Dir beantworten,wenn Du Dir klar machst,  wie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

   Ly=f

aussieht. Dabei ist f eine stetige Funktion  auf einem Intervall I in R.

Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der homogenen Gleichung

  Ly=0.

Wie sieht ein solches  aus ?

Ist dann [mm] y_s [/mm] eine auf I def.  spezielle Lösung  von Ly=f, so hat jede Lösung von Ly=f die Form

    [mm] y=y_h+y_s, [/mm]

Wobei [mm] y_h [/mm]  Linearkombination der Elemente des obigen FundamentAl -Systems ist

Fred
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Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 So 13.12.2015
Autor: mariem


> Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der
> homogenen Gleichung
>
> Ly=0.
>  
> Wie sieht ein solches  aus ?

In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen Gleichung Ly=0 die folgende:

[mm] y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x} [/mm]

oder nicht?



Bezug
                                        
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Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der
> > homogenen Gleichung
> >
> > Ly=0.
>  >  
> > Wie sieht ein solches  aus ?
>
> In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> Gleichung Ly=0 die folgende:
>
> [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
>
> oder nicht?

Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere


Z.B. bei

  y''-2y'+y=0 ist auch [mm] xe^x [/mm] eine Lösung.

FRED
>
>
>  

Bezug
                                                
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Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 13.12.2015
Autor: mariem


> > In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> > Gleichung Ly=0 die folgende:
> >
> > [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
> >
> > oder nicht?
>
> Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom
> aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere
>
>
> Z.B. bei
>
> y''-2y'+y=0 ist auch [mm]xe^x[/mm] eine Lösung.

Ja, aber diese Funktion ist kein Element von den oben ernannten Ring, oder doch?
Bezug
                                                        
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Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > > In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> > > Gleichung Ly=0 die folgende:
> > >
> > > [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
> > >
> > > oder nicht?
> >
> > Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom
> > aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere
> >
> >
> > Z.B. bei
> >
> > y''-2y'+y=0 ist auch [mm]xe^x[/mm] eine Lösung.
>
> Ja, aber diese Funktion ist kein Element von den oben
> ernannten Ring, oder doch?  

Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???

FRED

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Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 So 13.12.2015
Autor: mariem


> Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen
> geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???


Ja, aber wenn man nur die Lösungen die zu diesem Ring gehören betrachten?
Bezug
                                                                        
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Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen
> > geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???
>  
>
> Ja, aber wenn man nur die Lösungen die zu diesem Ring
> gehören betrachten?  

Dann betrachtet man eben nur Lösungen aus diesem Ring.......

(warum auch immer.......)

Fred
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