Gibt es eine Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
hier erst einmal die Aufgabe:
In V = [mm] \IR^3 [/mm] seien die Vektoren
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\-1}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-3\\1\\-2}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\1}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
und in W = [mm] \IR^4 [/mm] seien die Vektoren
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\1}, w_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\1\\-1}, w_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\1}, w_4 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1\\0}
[/mm]
gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W mit [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] w_i \forall [/mm] i = 1,...,4? Falls ja, ist sie eindeutig bestimmt?
Lösungsvorschlag:
Also ich habe erstmal geprüft ob [mm] v_i [/mm] mit i={1,2,3,4} linear unabhängig sind und habe herausgefunden, dass gilt:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + 2 [mm] v_3 [/mm] - [mm] v_4
[/mm]
Also:
[mm] \vektor{1\\2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\1\\-2} [/mm] + 2 [mm] \vektor{2\\0\\1} [/mm] - [mm] \vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
Somit wäre eine mögliche lineare Abbildung nicht mehr eindeutig bestimmt, da [mm] v_1 [/mm] als Linearkombination von [mm] v_2, v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] darstellbar ist und somit linear abhängig ist.
Ich habe dies auch mit all den anderen Vektoren durchgeführt und erhalte dann die linear unabhängigen Vektoren [mm] v_2, v_3 [/mm] und [mm] v_4.
[/mm]
Doch wie geht es nun weiter?
Wie finde ich denn eine Abbildung, damit gilt:
1. [mm] f(\vektor{-3\\1\\-2}) \mapsto \vektor{0\\2\\1\\-1}
[/mm]
2. [mm] f(\vektor{2\\0\\1}) \mapsto \vektor{1\\0\\1\\1}
[/mm]
3. [mm] f(\vektor{0\\-1\\1}) \mapsto \vektor{1\\1\\1\\0}
[/mm]
???
Würde gerne wissen wie ich hier weitermachen soll.
MfG Andi
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> Hallo,
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> hier erst einmal die Aufgabe:
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> In V = [mm]\IR^3[/mm] seien die Vektoren
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\-1}, v_2[/mm] = [mm]\vektor{-3\\1\\-2}, v_3[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\0\\1}, v_4[/mm] = [mm]\vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
>
> und in W = [mm]\IR^4[/mm] seien die Vektoren
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\0\\1}, w_2[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\1\\-1}, w_3[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\0\\1\\1}, w_4[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\1\\0}
[/mm]
>
> gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung f:V [mm]\to[/mm] W mit
> [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]w_i \forall[/mm] i = 1,...,4? Falls ja, ist sie
> eindeutig bestimmt?
>
> Lösungsvorschlag:
>
> Also ich habe erstmal geprüft ob [mm]v_i[/mm] mit i={1,2,3,4} linear
> unabhängig sind und habe herausgefunden, dass gilt:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]v_2[/mm] + 2 [mm]v_3[/mm] - [mm]v_4
[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\vektor{1\\2\\-1}[/mm] = [mm]\vektor{-3\\1\\-2}[/mm] + 2 [mm]\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> - [mm]\vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
Die Rechnung kannst du dir in diesem Fall sparen, 4 Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] sind immer linear abhängig, da [mm] dim\IR^3=3.
[/mm]
> Somit wäre eine mögliche lineare Abbildung nicht mehr eindeutig
warum?
>Doch wie geht es nun weiter?
Da [mm] v_1=v_2+2v_3-v_4, [/mm] muss [mm] f(v_1)=f(v_2)+2f(v_3)-f(v_4)=w_2+2w_3-w_4=w_1. [/mm] Dies ist allerdings nicht der Fall, also gibt es keine solche lineare Abbildung.
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mo 14.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Aber wenn du jetzt eine Aufgabe hast, in der es wirklich eine solche lineare Abbildung gibt, kannst du die Matrixdarstellung von f bezüglich [mm] (v_2,v_3,v_4) [/mm] und [mm] (w_1,w_2,w_3,w_4) [/mm] (diese sind lin. unabhängig also Basen, da [mm] dim\IR^3=3 [/mm] und [mm] dim\IR^4=4)
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die Basen in die jeweiligen kanonischen Basen transformieren und erhälst somit f in 'nicht-Matrixschreibweise'.
mfg Verena
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