Gewinnfunktion bestimmen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Do 13.05.2010 | | Autor: | mrcuda |
| Aufgabe | Von einem Betrieb weiß man, dass die Gewinnzone bei einer Produktion von x=90 ME beginnt und bei x =180 ME (Mengeneinheiten) endet.
Der maximale Gewinn beträgt 3000€. Der Stückpreis beträgt 90€.
Es wird vorausgesetzt, dass die Gewinnfunktion quadratisch ist.
a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion g.
b) Berechnen Sie die Kostenfunktion k. - Wie hoch sind die Fixkosten?
c) Kann der Betrieb den Stückpreis noch senken und ohne Verlust produzieren?
Mit welchem Stückpreis kann er noch verlustfrei kalkulieren?
Wieviel muss dann produziert werden? |
Meine Frage oder besser Bitte ist, mir einen Tipp für den ersten Ansatz zu geben. Zuvor haben wir als Einstieg in die wirtschaftlichen Anwendungen eine ähnliche Aufgabe bearbeitet, in der allerdings eine Funktion und Wertetabelle sowie mehr Informationen gegeben waren, wodurch wir in der Lage waren eine Wertetabelle zu erstellen bzw. die Tabelle zu vervollständigen, um dann an Hand von drei Punkten die Funktion im Rahmen eines linearen Gleichungssystems aufzustellen und zu prüfen. Solche Punkte fehlen mir hier, wobei ein paar Überlegungen meinerseits dazu sind, dass
- der Scheitelpunkt S bei ( [mm] x_{S} [/mm] | 3000 ) liegt, da dies das Gewinnmaximum ist
- weitere Punkte P ( [mm] x_{P} [/mm] | 3000-x ) sowie Q ( [mm] x_{Q} [/mm] | 3000-x ) sein könnten
- ich P und Q evtl. als Mittelwert für [mm] x_{S} [/mm] gebrauchen könnte, womit [mm] x_{S}=135 [/mm] wäre und der Scheitelpunkt S (135|3000)
Bliebe noch das a , oder der Faktor vor der bis dahin dann ersichtlichen Funktion [mm] f(x)=a(x-135)^2+3000, [/mm] welcher auf jeden Fall negativ ausfällt.
Vorkenntnisse erschöpfen sich in "p-q-Formel" und der erwähnten Aufgabe, bei der wir mehr Informationen hatten, sowie diverse Extremwertaufgaben (nach dem Schema "Umfang gegeben, was ist der größte Flächeninhalt bei welcher Seitenlänge"). Ein Tipp für den ersten Ansatz oder überhaupt für eine Überlegung wäre schön, ich möchte ganz gerne viel alleine machen. Morgen setz ich mich in aller Frische dran und zerbrech mir weiter den Kopf.
Über Verbesserungen bzgl. der mathematischen Schreibweise wäre ich, wie auch für die bisherige Aufmerksamkeit, dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mrcuda,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Von einem Betrieb weiß man, dass die Gewinnzone bei einer
> Produktion von x=90 ME beginnt und bei x =180 ME
> (Mengeneinheiten) endet.
> Der maximale Gewinn beträgt 3000€. Der Stückpreis
> beträgt 90€.
> Es wird vorausgesetzt, dass die Gewinnfunktion quadratisch
> ist.
>
> a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion g.
>
> b) Berechnen Sie die Kostenfunktion k. - Wie hoch sind die
> Fixkosten?
>
> c) Kann der Betrieb den Stückpreis noch senken und ohne
> Verlust produzieren?
> Mit welchem Stückpreis kann er noch verlustfrei
> kalkulieren?
> Wieviel muss dann produziert werden?
> Meine Frage oder besser Bitte ist, mir einen Tipp für den
> ersten Ansatz zu geben. Zuvor haben wir als Einstieg in die
> wirtschaftlichen Anwendungen eine ähnliche Aufgabe
> bearbeitet, in der allerdings eine Funktion und
> Wertetabelle sowie mehr Informationen gegeben waren,
> wodurch wir in der Lage waren eine Wertetabelle zu
> erstellen bzw. die Tabelle zu vervollständigen, um dann an
> Hand von drei Punkten die Funktion im Rahmen eines linearen
> Gleichungssystems aufzustellen und zu prüfen. Solche
> Punkte fehlen mir hier, wobei ein paar Überlegungen
> meinerseits dazu sind, dass
>
> - der Scheitelpunkt S bei ( [mm]x_{S}[/mm] | 3000 ) liegt, da dies
> das Gewinnmaximum ist
Ja.
> - weitere Punkte P ( [mm]x_{P}[/mm] | 3000-x ) sowie Q ( [mm]x_{Q}[/mm] |
> 3000-x ) sein könnten
> - ich P und Q evtl. als Mittelwert für [mm]x_{S}[/mm] gebrauchen
> könnte, womit [mm]x_{S}=135[/mm] wäre und der Scheitelpunkt S
> (135|3000)
Richtig.
>
> Bliebe noch das a , oder der Faktor vor der bis dahin dann
> ersichtlichen Funktion [mm]f(x)=a(x-135)^2+3000,[/mm] welcher auf
> jeden Fall negativ ausfällt.
Richtig.
Du kennst noch die Punkte $\ f(90) = 0 $ und $\ f(180) = 0 $. Wie könntest du diese Information(en) hier einbringen?
Das führt dich sicher zum Ziel!
>
> Vorkenntnisse erschöpfen sich in "p-q-Formel" und der
> erwähnten Aufgabe, bei der wir mehr Informationen hatten,
> sowie diverse Extremwertaufgaben (nach dem Schema "Umfang
> gegeben, was ist der größte Flächeninhalt bei welcher
> Seitenlänge"). Ein Tipp für den ersten Ansatz oder
> überhaupt für eine Überlegung wäre schön, ich möchte
> ganz gerne viel alleine machen. Morgen setz ich mich in
> aller Frische dran und zerbrech mir weiter den Kopf.
>
> Über Verbesserungen bzgl. der mathematischen Schreibweise
> wäre ich, wie auch für die bisherige Aufmerksamkeit,
> dankbar!
Alles wunderbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gute Nacht.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 13.05.2010 | | Autor: | mrcuda |
Danke, gestern war ich wohl etwas zu müde.  Auf den Mittelwert bin ich natürlich durch die von dir erwähnten Punkte $ \ f(90) = 0 $ und $ \ f(180) = 0 $, die Nullstellen sind, gekommen.
Jetzt hab ich die Funktion mit 0 gleichgesetzt (sagt man das so?), jeweils 90 und 180 eingesetzt und so den Koeffizienten -a ermittelt.
Sieht dann der Reihe nach so aus:
Mittelwert des Scheitelpunktes durch die zwei Nullstellen:
[mm] x_{S} [/mm] bei [mm] y_{S}=3000
[/mm]
[mm] x_{1}=90
[/mm]
[mm] x_{2}=180
[/mm]
[mm] x_{s} [/mm] = [mm] \bruch{90+180}{2}=135
[/mm]
Bis hierher hatte ich
[mm] {f(x)=-a(x-135)^2+3000}
[/mm]
Demnach der Scheitelpunkt S = (135|3000)
Mit Hilfe der Nullstellen [mm] x_{1}=90 [/mm] und [mm] x_{2}=180 [/mm] durch Gleichsetzen der Funktion mit und Einsetzen der Werte in die Scheitelpunktsform zur a berechnen:
f(90)=0
0 = [mm] -a(90-135)^2+3000
[/mm]
0 = [mm] -a45^2+3000
[/mm]
0 = -2025a + 3000 | -3000
-2025a = -3000 | :-2025
a = [mm] \bruch{40}{27}
[/mm]
Probe mit zum Beispiel der zweiten Nullstelle [mm] x_{2}=180 [/mm] klappt auch:
f(180)=0
0 = [mm] -\bruch{40}{27}(180-135)^2+3000
[/mm]
0 = [mm] -\bruch{40}{27}45^2+3000
[/mm]
0 = [mm] -\bruch{40}{27}2025 [/mm] + 3000
0 = -3000 + 3000
0 = 0
Somit lautet die Gewinnfunktion [mm] {f(x)=-\bruch{40}{27}(x-135)^2+3000}
[/mm]
Korrekt? :-D Wenn sich das nun erledigt hat; mache ich dann hier mit b) weiter, oder sollte ich besser eine neue Diskussion eröffnen?
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Hallo mrcuda,
alles richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Aufgabenteil b) kannst du ruhig auch hier bearbeiten.
Getrennte Threads sind nur dann nötig, wenn es sich um eine neue Aufgabe dreht, die nichts mit der ersten Aufgabe zu tun hat.
Viele Grüße
ChopSuey
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