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| Aufgabe | Sei L = [mm] sl(n,\IC) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2. Betrachten Sie die Unteralgebra [mm] H=span\{e_{11}-e_{22}\}. [/mm] Finden Sie den Gewichtsraum [mm] L_{0} [/mm] = [mm] C_{L}(H) [/mm] und bestimmen Sie die Gewichtsraumzerlegung
L = [mm] L_{0} \oplus(\oplus_{\alpha \in \Phi} L_{\alpha}) [/mm] |
Hallihallo 
Bin grad bei meiner Prüfungsvorbereitung auf diese Aufgabe gestoßen und wollte dies mal mit n=2 durchspielen.
Ok, [mm] sl(2,\IC)=span\{h,x,y\}=span\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0},\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}\}
[/mm]
[mm] H=span\{h\}
[/mm]
[mm] C_{L}(H)=\{a \in L | [a,h]=0\} [/mm] = H = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] = [mm] L_{0}
[/mm]
Außerdem gilt: [h,x]=-2x, [h,y]=2y
Bestimmung der Gewichte:
Sei [mm] h=\pmat{a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2}} \in [/mm] H
[mm] [h,x]=[h,e_{21}]=he_{21}-e_{21}h=(a_{2}-a_{1})e_{21}=-2x
[/mm]
[mm] [h,y]=[h,e_{12}]=(a_{1}-a_{2})e_{12}=2y
[/mm]
Also Gewichte: (ad [mm] h)(e_{ij})=[h,e_{ij}]=(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})(h)e_{ij} [/mm] mit [mm] \epsilon_{i}: [/mm] H [mm] \rightarrow \IC, \pmat{a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2}} \longmapsto a_{\epsilon}
[/mm]
Also [mm] (\epsilon_{i}-\epsilon_{j}) \in H^{\*} [/mm] Gewicht mit Gewichtsraum [mm] L_{ij}=\{w \in sl(2,\IC)|(ad h)(w)=(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})(h)(w), \forall h \in H\}=span\{e_{ij}\}
[/mm]
Also Gewichtsraumzerlegung:
[mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} \oplus \pmat{0 & 0 \\ 1 & 0} \oplus \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
Wär das so ok?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 28.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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